讨论组6次多项式恒正+人教群多项式题

kuing

讨论组：

v6 2020/8/18 19:30:29
一个 6 次多项式恒正的征解
湖南长沙 方锋
【题目】对于 $x \in \mathrm{R}$ ，求证
\[
x^6-x^5-2 x^4+x^3+x^2+1>0
\]
其妙  21:03:22
背景见这个 blog.sina.com.cn/s/blog_54df069f0102z06m.html
kuing  21:23:19


其妙  21:29:23
看看这个对不对

kuing  21:40:49

人教群：

陕A教师司(1569****)  22:40:16
设 $n$ 是正整数，$f(x)$ 是 $n$ 次多项式，并且对任意的 $k \in\{0,1, \cdots, n\}$ 都有 $f(k)=\frac{n-k}{k+1}$，求 $f(n+1)$
阅A爱好者色k(249533164)  22:56:42

不知对不对/emmm...

kuing

代码码一下，方便日后搜索：

第一题：求证 `x^6-x^5-2x^4+x^3+x^2+1>0`。
\begin{align*}
&x^6-x^5-2x^4+x^3+x^2+1\\
={}&x^2\left( x-\frac75 \right)^2\left( x+\frac9{10} \right)^2+\frac{13}{50}\left( x-\frac32 \right)^2(x+1)^2+\frac{x^4}{100}+\frac{637}{5000}\left( x-\frac{75}{49} \right)^2+\frac{571}{4900}.
\end{align*}
第一题加强：求证：
当 `x\geqslant0` 时 `x^6-x^5-2x^4+x^3+x^2+1\geqslant(x-1)^6`；
当 `x\leqslant0` 时 `x^6-x^5-2x^4+x^3+x^2+1\geqslant(x+1)^6`。
\begin{align*}
&x^6-x^5-2x^4+x^3+x^2+1-(x-1)^6\\
={}&x\left( 5\left( x-\frac14 \right)^2\left( x-\frac{29}{20} \right)^2+\frac{117}{40}\left( x-\frac{209}{156} \right)^2+\frac{309}{3328} \right);\\
&x^6-x^5-2x^4+x^3+x^2+1-(x+1)^6\\
={}&{-}x\left( 7(x+1)^2\left( x+\frac3{14} \right)^2+\frac{159}{28}\left( x+\frac{145}{159} \right)^2+\frac{152}{159} \right).
\end{align*}
第二题：设 `n` 是正整数，`f(x)` 是 `n` 次多项式，并且对任意的 `k\in\{0,1,\ldots,n\}` 都有 `f(k)=(n-k)/(k+1)`，求 `f(n+1)`。
\[(x+1)f(x)-n+x=Ax(x-1)(x-2)\cdots(x-n),\]\begin{align*}
x=-1&\riff-n-1=A(-1)(-2)(-3)\cdots(-1-n)=A(-1)^{n+1}(n+1)!\\
&\riff A=\frac{(-1)^n}{n!},\\
x=n+1&\riff(n+2)f(n+1)+1=A(n+1)!=(-1)^n(n+1)\\
&\riff f(n+1)=\frac{(-1)^n(n+1)-1}{n+2}.
\end{align*}

青青子衿

人教群：

陕A教师司(1569****)  22:40:16
谁方便帮忙看看这个问题咋办？谢谢，谢谢！
设 $n$ 是正整数，$f(x)$ 是 $n$ 次多项式，并且对任意的 $k \in\{0,1, \cdots, n\}$ 都有 $f(k)=\frac{n-k}{k+1}$，求 $f(n+1)$
kuing 发表于 2020-8-18 23:44

回复 1# kuing

上题为试卷中的第三大题

2019年西安交通大学入学数学测试
zhuanlan.zhihu.com/p/165915511

hbghlyj

奥赛经典 代数卷 拉格朗日插值法的章节有

kuing

昨晚人教群里一道小不等式，懒得开新帖，也存档这里好了……

鄂S爱好者(8606*****) 2020/8/23 22:23:02
`x,y>0`，求 `f(x,y)=6(x^2+y^2)(x+y)-4(x^2+y^2+xy)-3(x+y)+5` 的最小值。

if `3(x+y)\geqslant1`:
\[f(x,y)=2+3(x+y+1)(x+y-1)^2+(3x+3y-1)(x-y)^2\geqslant2,\]`x=y=1/2` get "`=`";
if `3(x+y)<1`:
\[f(x,y)=\frac{34}9+\left( 4xy+\frac{11}9 \right)(1-3x-3y)+\frac23(x+y)(1-3x-3y)^2>\frac{34}9.\]so `f(x,y)_{\min}=2`.

yao4015

这个第一题，感觉有点意思，撸了一火。
$$f=x^6-x^5-2x^4+x^3+x^2+1$$
如果直接上答案，就太low了，还是把过程写一下。
我的基本想法是消去常数项， 但是不能多出一次项来，所以应该有一个形式  $f-(kx^2-1)^2$ 仍然要保持非负性。
经过一些试探，觉得 $k$ 取 $\frac{1}{2}$ 比较合理， 于是我们得到
$$f-(\frac{1}{2}x^2-1)^2=x^2(x^4 - x^3 - \frac{9}{4} x^2 + x + 2)$$
接下来就是去证明 $g=x^4 - x^3 - 9/4 x^2 + x + 2$ 是严格正的。
想法还是一样，消去常数项和一次项， 那就应该有一个形式
$$g-(kx^2-\frac{\sqrt{2}}{4}x-\sqrt{2})^2$$
经过一些尝试，$k$ 取 $\frac{2\sqrt{2}}{3}$ 形式比较简单。
$$g-(\frac{2\sqrt{2}}{3}x^2-\frac{\sqrt{2}}{4}x-\sqrt{2})^2=
x^2(\frac{1}{9}x^2 - \frac{1}{3}x + \frac{7}{24})$$
$\frac{1}{9}x^2 - \frac{1}{3}x + \frac{7}{24}$ 的判别式小于0，成功。
完整的结果是
$$f=(\frac{1}{2}x^2-1)^2+2x^2(\frac{2}{3}x^2-\frac{1}{4}x-1)^2+x^4(\frac{1}{9}x^2 - \frac{1}{3}x + \frac{7}{24}).$$
明显， 这样的表达式是不唯一的。

kuing

回复 6# yao4015

乃思！

也不差把最后那项也配个方，也挺好看
\[\left( \frac12x^2-1 \right)^2+2x^2\left( \frac23x^2-\frac14x-1 \right)^2+x^4\left( \frac13x-\frac12 \right)^2+\frac1{24}x^4\]

kuing

直接假设
\[x^6-x^5-2x^4+x^3+x^2+1=\left( x^3-\frac12x^2+cx+d \right)^2+m(x^2+px+q)^2,\]然后展开对比系数解方程组（当然是丢给软件），居然！有一组很简单的解：`c=-3/2`, `d=1/2`, `m=3/4`, `p=q=-1`（真是运气吗？）也就是
\[x^6-x^5-2x^4+x^3+x^2+1=\frac14(2x^3-x^2-3x+1)^2+\frac34(x^2-x-1)^2.\]