来自减压研究群的一一对应之无理数

kuing

教学乡长(2654******)  14:19:14

这道题如果不是多选题的话，那么就是出题者想当然的结果了。
事实上，有理数是 $\aleph_0$，实数是 $\aleph_1$，所以无理数也是 $\aleph_1$，所以AD都对。
当然，我们也可以直接构造这样的映射。

首先由于 $\mbb Q$ 是可数无限集，故不妨设 $\mbb Q=\{q_1,q_2,q_3,\ldots\}$。
记 $W=\mbb R\setminus \mbb Q$ 表示无理数集，设 $W$ 中的真子集 $W_0=\{\pi,2\pi,3\pi,\ldots\}$。
我们让映射 $f$: $W\to\mbb R$ 按如下定义：
当 $x\in W\setminus W_0$ 时，$f(x)=x$；
当 $x\in W_0$ 时，映射为 $\{\pi,2\pi,3\pi,\ldots\} \to \{q_1,\pi,q_2,2\pi,q_3,3\pi,\ldots\}$。
不难看出，这样的映射就是 $W$ 与 $\mbb R$ 的一一映射。

注：$A\setminus B$ 表示集合差，代码是 \setminus 而不是 \backslash （有差别）

其妙

回复 1# kuing
是不是住过旅馆？某人开的，

test

回复 2# 其妙

构造方法是用了那个道理

isee

没看过程，这个如果在初中阶段答案是唯一的：实数。

kuing

回复 4# isee

假设有个初中生能想到上面的构思，发现无理数也能对应，那你要说他错吗？
事实上上面的构造虽然对初中生来说是难以想到，但是要解释给他们听还是很容易的。
我上面的写书只不过为了严格所以才用了各种符号，其实如果要通俗来说，也就简单几句话，先将 pi, 2pi, 3pi, ... 这些都抽出来，剩下的无理数不动，然后就是希尔伯特旅馆的过程（在讲这题之前可以先介绍），即 pi 放到 2pi，2pi 放到 4pi，3pi 放到 6pi，……，空出所有奇数倍 pi，然后再将有理数放进去。

其妙

，希尔伯特开的旅馆

isee

回复 5# kuing


    不看题，仅就这个(理解)，当然是没问题的，但是数轴上的点是固定的，如0，就对原点……，不能随便放，所以，偶是坚持认为，数轴上的点和实数一一对应。


无理数 确实可以将 直线（上的每点） 填满，但这两个东西不是同一个东西。

kuing

回复 7# isee

你这样说也有点道理，毕竟“数轴”是“有属性”的直线，是表示实数专用的，如果我将一条直线按上面说的一一对应无理数，那这条直线也不叫数轴了，或者说不是通常用的数轴，是我专用的而已

其妙

回复 8# kuing
这么说，直线与数轴就不是一样的东西

kuing

回复 9# 其妙

按isee说的应该就是这意思，说数轴就必须是那样对应

isee

回复 9# 其妙


    汗，你自个去看看中学数学里对数轴的定义。

    至少，要有原点，单位长度，正方向三个要素，是有附加条件的直线

kuing

嗯嘛，把1#前三行划掉了。

hbghlyj

kuing 发表于 2015-6-5 07:39
嗯嘛，把1#前三行划掉了。

MathJax公式可以用\enclose{horizontalstrike}划掉