来自减压群的泰勒漂移

kuing

生如夏花(2365*****) 2018/2/21 19:54:54

生如夏花(2365*****) 2018/2/21 19:56:00
李尚志的，说级数展开简单，究竟怎么展开做呢？

取对数有
\[a^b=b^a\iff \frac{\ln a}a=\frac{\ln b}b,\]
易证 $(\ln x)/x$ 先增后减，在 $x=e$ 处取极大值，所以 $a>e>b$。

由泰勒展开，有
\[\ln x=1+\frac{x-e}{e}-\frac{(x-e)^2}{2 e^2}+\frac{(x-e)^3}{3\xi^3},\]
其中 $\xi$ 介于 $x$ 与 $e$ 之间，由此可见
\[\ln x \led
&<1+\frac{x-e}{e}-\frac{(x-e)^2}{2 e^2},&&0<x<e,\\
&>1+\frac{x-e}{e}-\frac{(x-e)^2}{2 e^2},&&x>e,
\endled\]
所以
\[\frac1b\left(1+\frac{b-e}{e}-\frac{(b-e)^2}{2 e^2}\right)>\frac{\ln b}b
=\frac{\ln a}a>\frac1a\left(1+\frac{a-e}{e}-\frac{(a-e)^2}{2 e^2}\right),\]
作差分解即得
\[\frac{(a-b)(a b-e^2)}{2 a b e^2}>0,\]
所以 $ab>e^2$。

PS、这种招式其实我在《撸题集》里已经用过，见 P720 题目 5.3.6（或直接看 P721 开头即可），只不过当时没提泰勒，而是用一个“易证”带过，实际上我就是用泰勒搞的。

其妙

这是经典题目的变式题（多种方法，例如对数平均不等式等等）

isee

回复 2# 其妙


    就搞个文字没过程不过瘾

hbghlyj

相关:
$a^b=b^a$的整数解只有(4,2)

hbghlyj

回复 4# hbghlyj
相关:Find all positive integers $a$ such that for any positive integer $n\ge 5$ we have $2^n-n^2\mid a^n-n^a$.
artofproblemsolving.com/community/c6h549594p3188705