来自减压群的泰勒漂移

kuing

李尚志 3/13/17
中学时代爱上泰勒展开

有一位老师拿来一个中学题让我帮助解答:
$a>b>0$, $a^b=b^a$,求证$b<e$, $ab>e^2$。
说实话,我认为这样的题对中学生太难了,不应该做。我赞成韩云瑞的观点,中学生先把初等数学玩熟了就行了。小学生把整数和小数的四则运算玩熟了就行了。不要折腾得太过分。就像修房子,先打好地基。地基没打好就往上面修高楼,就成为豆腐渣工程。
但中学要出这些题,我只好帮助他们对付。这道题我第一眼就看出可以用泰勒展开来做,简单易懂。泰勒展开就是把函数变成多项式来做,然后用初中代数就OK了。

取对数有
\[a^b=b^a\iff \frac{\ln a}a=\frac{\ln b}b,\]
易证 $(\ln x)/x$ 先增后减，在 $x=e$ 处取极大值，所以 $a>e>b$。

由泰勒展开，有
\[\ln x=1+\frac{x-e}{e}-\frac{(x-e)^2}{2 e^2}+\frac{(x-e)^3}{3\xi^3},\]
其中 $\xi$ 介于 $x$ 与 $e$ 之间，由此可见
\[\ln x \led
&<1+\frac{x-e}{e}-\frac{(x-e)^2}{2 e^2},&&0<x<e,\\
&>1+\frac{x-e}{e}-\frac{(x-e)^2}{2 e^2},&&x>e,
\endled\]
所以
\[\frac1b\left(1+\frac{b-e}{e}-\frac{(b-e)^2}{2 e^2}\right)>\frac{\ln b}b
=\frac{\ln a}a>\frac1a\left(1+\frac{a-e}{e}-\frac{(a-e)^2}{2 e^2}\right),\]
作差分解即得
\[\frac{(a-b)(a b-e^2)}{2 a b e^2}>0,\]
所以 $ab>e^2$。

PS、这种招式其实我在《撸题集》里已经用过，见 P720 题目 5.3.6（或直接看 P721 开头即可），只不过当时没提泰勒，而是用一个“易证”带过，实际上我就是用泰勒搞的。

其妙

这是经典题目的变式题（多种方法，例如对数平均不等式等等）

isee

回复 2# 其妙


    就搞个文字没过程不过瘾

hbghlyj

相关:
$a^b=b^a$的整数解只有(4,2)

hbghlyj

回复 4# hbghlyj
相关:Find all positive integers $a$ such that for any positive integer $n\ge 5$ we have $2^n-n^2\mid a^n-n^a$.
artofproblemsolving.com/community/c6h549594p3188705

isee

若 a^b=b^a，a>b>0，如何证明ab>e^2？

源自知乎提问区

分析法，取对数降次.



两边取对数 $ab>\mathrm e^2\iff \ln a+\ln b>2$ ，令 $\ln a =x_1,\,\ln b=x_2$ ，则 $a=\mathrm e^{x_1}$ ， $b=\mathrm e^{x_2}$ ，从而条件转化为 \begin{gather*}
\iff b\ln a=a\ln b\iff \mathrm e^{x_2}\cdot x_1=\mathrm e^{x_1}\cdot x_2\\[1ex]
\iff \frac{x_1}{\mathrm e^{x_1}}=\frac{x_2}{\mathrm e^{x_2}}\iff \ln x_1-x_1=\ln x_2-x_2\\[1em]
\iff \ln x_1-\ln x_2=x_1-x_2,\tag{01}
\end{gather*} 从而待证不等式 \[x_1+x_2>2\iff 1<\frac{x_1+x_1}2,\] 这是成立的，依对数均值不等式，结合 $(01)$ 式 \begin{gather*}
\frac{x_1-x_2}{\ln x_1-\ln x_2}<\frac{x_1+x_2}{2}\\[1em]
\iff \frac{x_1-x_2}{ x_1- x_2}<\frac{x_1+x_2}{2}\\[1em]
1<\frac{x_1+x_2}{2},
\end{gather*} 得证.

其妙

其妙 发表于 2018-2-22 23:51
这是经典题目的变式题（多种方法，例如对数平均不等式等等）

上面就是对数平均不等式（可用比值换元法证明）

其妙

下面这道题的第（2）问：
2026届广东省深圳市高三7月联考
18．已知函数 $f(x)=a e^{2 x}+(a-2) e^x-x$
（1）令 $h(x)=f^{\prime}(x), h(x) \leq\left(e^x+\frac{1}{2}\right) \cdot x$ 对 $\forall x \in\left[-\frac{3}{2}, 0\right]$ 恒成立，求 $a$ 的最大值．
（2）若 $f(x)$ 有两个零点 $x_1, x_2$ ，求 $a$ 的范围，并证明：$x_1+x_2<2 \ln \frac{1}{a}$