含参的函数零点和差不等式

敬畏数学

已知函数$ f(x)=lnx-ax $，若$ m,n (m<n)$是$ f(x) $的两个零点，证明：（1）m+n>$\dfrac{2}{a} $;(2)$ n-m>\dfrac{2\sqrt{1-ea}}{a} $,其中e为自然对数的底。第一问简单，主要是第二问。

敬畏数学

？？？

isee

我第一时间就关注这个问题了，因为这样问题——如果仅用高考知识——实在是变化多端。
这类问题也早就留心了，如 形式简单压轴题三次函数的两零点差，再如论坛里的（我认为是悬而未决的）难度大的类似问题 两零点之差不等式等等，论坛在大量的素材，如未解决和的 极值点偏移又来啦。，最近补秒的  函数零点差……



以上一个是汇总，二个是方向应该是找一个“可解零点的曲线，或者切之类”替换，巧了，这个题参考了大量资料，借用电脑尝试无数次，终于找到了

\[\huge{\ln x\geqslant 2-\frac ex}\]

而欲证不等式的右边，正好是\[2-\frac ex-ax=0\]两根差……

这个函数根感觉以前写平几题作辅助线一样~

isee

回复 3# isee


哈哈哈，偶然找到源头了：

湖北省十一校考试联盟2021届高三十二月联考数学试题
第22题

第（2）问给的标答：