函数零点差

Tesla35

已知函数$f(x)=(1-\frac{1}{x^2})\ln(x+1)$.
(1)证明:函数$y=f(x)-1$有且仅有两个零点;
(2)若函数$y=|f(x)|-a$在$x\in(0,+\infty)$内有两个不同零点$x_1,x_2$,求证:$|x_1-x_2|>a$.

第二问。

kuing

很简单吧，令 `g(x)=x-1/x`，则 `g(1)=f(1)`, `|g(x)|>|f(x)|`（`x\in(0,1)\cup(1,+\infty)`），
于是 `|g(x)|-a` 的两零点 `x_3`, `x_4` 在 `x_1`, `x_2` 之间，所以 `|x_1-x_2|>|x_3-x_4|`，
易知 `x_{3,4}=\bigl(\mp a+\sqrt{a^2+4}\bigr)/2`，所以 `|x_3-x_4|=a`。

abababa

回复 2# kuing

那个$g(x)$就是用$\ln(1+x)$的级数去掉高阶项，得到多项式拟合出来的吧。
如果是对一般的函数$f(x)$作这样的拟合，有没有什么方法保证在某个区间上，让多项式的根都在$f(x)$的根之间或之外。如果恰好通过$f(x)$的根，就是插值吧，是不是有什么好的结论？

色k

回复 3# abababa

我不知道你说的那些，我只是用了熟知的 ln(x+1)<x……

Tesla35

回复 2# kuing

强啊

isee

回复 2# kuing


    一下子切到出题人的思想上了，牛气

Tesla35

回复 6# isee

戳到出题人肺管子上了

kuing

回复 6# isee

这个真的不难想啊，可走的路子本来就不多，加上看到 ln(x+1) 很自然想把它放缩为 x，于是一下子就出来了