$x\ln x=a$两零点的差[深圳2017年2月理科高三一 调]

isee

与《函数f(x)=x−aexf(x)=x−aex的两个零点商与和问题》类似的来了。


题如下：

已知函数\(f\left( x \right) = x\ln x,e\)为自然对数的底数．
（1）求曲线\(y = f\left( x \right)\)在\(x = {e^{ - 2}}\)处的切线方程；
（2）关于\(x\)的不等式\(f\left( x \right) \ge \lambda \left( {x - 1} \right)\)在\(\left( {0, + \infty } \right)\)上恒成立，求实数\(\lambda \)的值；
（3）关于\(x\) = a\)的方程\(f\left( x \right) = a\)有两个实根\({x_1},{x_2}\)，求证：\(\left| {{x_1} - {x_2}} \right| < 2a + 1 + {e^{ - 2}}\)．

isee

第（1）问是极易的，答案为：$y=-x-e^{-2}$;

第（2）问，如果分参，将超高考大纲，故，移项后，容易得到$\lambda=1$;

现在就是第（3）问，考场上我应该是搞不定了。

力工

回复 2# isee

第二问不分参，就用$lnx\leqslant$$x-1$代替讨论吧。答案贴个

色k

我那个擦！原来这个第（3）问正是由第（1）问的切线搞出来的。

在 $x=e^{-2}$ 处的切线是 $y=-x-e^{-2}$，在 $x=1$ 处的切线是 $y=x-1$，因为 $f(x)$ 下凸，所以切线必在曲线下方，如下图：



那么，当直线 $y=a$ 与 $f(x)$ 交于两点时，$y=a$ 与这两条切线也交于两点，它们的横坐标分别为 $x_3=-a-e^{-2}$ 和 $x_4=a+1$，则有 $\abs{x_1-x_2}<\abs{x_3-x_4}=2a+1+e^{-2}$。


见识过这种构造方法后，你也可以用其他切线，构造不同的不等式，编制出不同的题，不过真没意思……

isee

我那个擦！原来这个第（3）问正是由第（1）问的切线搞出来的。

在 $x=e^{-2}$ 处的切线是 $y=-x-e^{-2}$， ...
色k 发表于 2017-2-28 21:48

你的方法与标答一样，厉害厉害。

色k

回复 5# isee

这题的出题方法都被我看穿了，不一样才怪……

色k

实践了一下前面说的“用其他切线，构造不同的不等式”：
计算 $f(x)=x\ln x$ 在 $x=e^{-1/4}$ 和 $x=e^{-5/2}$ 两处的切线分别为 $y=3x/4-e^{-1/4}$ 和 $y=-3x/2-e^{-5/2}$，如下图：



最终可得出 $\abs{x_1-x_2}<2a+(4e^{-1/4}+2e^{-5/2})/3$。

在数值上 $(4e^{-1/4}+2e^{-5/2})/3\approx 1.093$，强于原题的 $1+e^{-2}\approx 1.135$。

游客

（1）+（2）=（3）
但是这个函数图像有没有超高考范围？

敬畏数学

回复 8# 游客
就是把那个图用一些%，&,@,*等等高大上的符号重新写一遍（免得高手有异议），此题有一、二问就没有任何技术含量，也就没有价值了。。。。意义不大的一题。

敬畏数学

回复 9# 敬畏数学
题到这个份上确实有点那个啥。。。哈哈。。