两零点之差不等式

lemondian

已知函数$f(x)=xlnx,x_1,x_2(x_2>x_1)$满足$f(x_1)=f(x_2)=m$，求证：$x_2-x_1>\sqrt{me+1}$

业余的业余

抛一砖。证一个比较弱的结论。

$f'(x)=1+\ln x$, 唯一的驻点 (易知是最小值点)在 $x_0=e^{-1}$， $f(x)$ 的最小值为 $f(x_0）=-e^{-1}$。显然有 $m\in(-\frac 1e,0)$

$f''(x)=\frac 1x>0 $ 在定义域 $(0,+\infty)$ 恒成立。易知 $f(x)$ 在 $(0,+\infty$ 为凸函数。连接点 $(0,0), (1,0),(\frac 1e,-\frac 1e)$ 成一个三角形，做 $y=m$ 交三角形的两边分别于 $A,B$, 显然有 $x_2-x_1>AB$. 而 $\cfrac {AB}{1}=\cfrac {\cfrac 1e-|m|}{\frac 1e}=1+me$, 即  $x_2-x_1>1+me$. 可惜的是  $1+me<\sqrt{1+me}$, 这是个比较弱的结论。不知道用其它曲线取代直线能不能得到较好的结果。

注:  有 $\displaystyle \lim_{x\to 0^+}f(x)=0$, 不妨认为 $f(0)=0$ 这点对于理解 $ f(x)$ 的图象有好处。

游客

用抛物线吧

kuing

易知 `-1/e<m<0`, `0<x_1<1/e<x_2<1`，令
\[g(x)=\frac {(e-1)^2x(x-1)}{(-e+3e^2-e^3)x^2+(-e-2e^2+e^3)x+1},\]
可以证明 `f(x)\leqslant g(x)` 在 `x\in(0,1]` 上恒成立（有空再补过程），当 `x=1/e` 及 `x=1` 取等（如果补上 `f(0)=0` 则 `x=0` 也取等）。

于是，当 `f(x)=m` 有两根 `x_1<x_2` 时，`g(x)=m` 也必有两根 `x_3`, `x_4` 并且 `x_1<x_3<x_4<x_2`，那么
\[(x_2-x_1)^2>(x_3-x_4)^2=(x_3+x_4)^2-4x_3x_4,\]
而 `g(x)=m` 化简后为
\[(-e^3m+3e^2m-em-e^2+2e-1)x^2+(e^3m-2e^2m-em+e^2-2e+1)x+m=0,\]
故由韦达定理代入上面化简，最终得
\[(x_2-x_1)^2>\frac{(em+1)(e-1)^3(e^2m-em-4m+e-1)}{(-e^3m+3e^2m-em-e^2+2e-1)^2},\]
可以证明 `(e-1)^3(e^2m-em-4m+e-1)>(-e^3m+3e^2m-em-e^2+2e-1)^2`，所以上式比原式强。

kuing

看看 f(x) 与 g(x) 的差距：

业余的业余

回复 3# 游客

试过，要用两段抛物线吧？主要不等式太差火，走不通 :(

isee

回复 5# kuing

几乎挨一起了。

lemondian

回复 4# kuing

1.厉害了,
2.G（X）如何构造的?
3.还有两个难点:证f（x）≤g（x）,另一个是最后一个:可以证明...

isee

回复 8# lemondian

如果 是高中模拟卷上的，把标答发来，如果有的话。THX。

kuing

回复 8# lemondian

有空再补充有空再补充

lemondian

回复 9# isee

在一个群里看到的,不会做,所以请教各位了

游客

回复 6# 业余的业余



不知道有没有算错，你再验证下。

游客

回复 12# 游客

算错了。。。。下面一段反向了

lemondian

回复 10# kuing

kuing,有空补补这个么?

huing

且把水平线y=m截得的曲线下半部分叫做对数弓。$$\sqrt{me+1}=\sqrt{e(m+e^{-1})}$$注意到式中的$m+e^{-1}$就是所截对数弓的高，而零点差正是对数弓的底宽。
弓形底宽的平方正比于弓高者不就是抛物弓吗？！
考察对数弓可知，截于 x 轴 的最大弓正好取到比例常数 e，所以抛物弓与对数弓同底。
使两弓共顶，则抛物弓容于对数弓内是可能的，证明这一点就行了。
易得这条抛物线的方程是$$2x+2y=ey+1±\sqrt{ey+1}$$由方程显见这个抛物弓使不等式恒取等式，其容于对数弓即$$x_1+m<\frac{em+1-\sqrt{em+1}}2<e^{-1}+m<\frac{em+1+\sqrt{em+1}}2<x_2+m$$这应该不会比kuing的三次曲线弓更难。

kuing

回复 15# huing

画图看起来那个抛物弓的确容于对数弓，这个分析方向应该是正确嘀

huing

补一个图

hjfmhh

回复 15# huing
您好！能请教一下抛物线方程怎么求得的吗？谢谢

facebooker

姊妹题：

已知函数$f(x)=\dfrac{\ln x}{x},x_1,x_2(x_2>x_1>0)$满足$f(x_1)=f(x_2)=a$，求证：$x_2-x_1>e^2\sqrt{\dfrac{1}{a\rm e}-1}
$

血狼王

回复 15# huing

这个抛物线又是怎么确定的呢？