一道简洁但又难度的偏移问题

aishuxue

没思路，请教各位！

Aluminiumor

$f'(x)=a-\frac{1}{x}, f(x)$ 在 $(0,\frac1a)\downarrow,$ 在 $(\frac1a,+\infty)\uparrow$
$f(\frac{1}{a})=\ln a<0\Longrightarrow a\in (0,1)$
不妨设 $x_1<\frac{1}{a}<x_2.$
$ f(1)=a-1<0,f(\frac1e)=\frac ae>0\Longrightarrow \frac1e<x_1<1$
故 $x_2,\frac{1}{ax_1}>\frac{1}{a}$
只需证 $$f(x_1)=f(x_2)>f\left(\frac{1}{ax_1}\right)$$
即证 $$ax_1-\ln x_1-1>a\cdot \frac{1}{ax_1}-\ln \left( \frac{1}{ax_1} \right) -1$$
$$\Longleftrightarrow \frac{1}{x_1}+\ln\mathrm{(}\ln x_1+1)<1$$
令 $$F(x)=\frac{1}{x}+\ln\mathrm{(}\ln x+1), \frac1e<x<1$$
$$F'(x)=\frac{x-\ln x-1}{x^2(\ln x+1)}>0\Longrightarrow F(x_1)<F(1)=1$$
得证！

Aluminiumor

另一种做法：
不妨设 $\frac1e<x_1<x_2$
$$x_1x_2>\frac1a\Longleftrightarrow x_1x_2\left(\frac{1}{x_1}-\frac{1}{x_2}\right)>\frac1a\left(\frac{1}{x_1}-\frac{1}{x_2}\right)$$
$$\Longleftrightarrow x_1+\frac{1}{ax_1}<x_2+\frac{1}{ax_2}$$
$$\Longleftrightarrow x_1+\frac{1}{ax_1}-\frac3a<x_2+\frac{1}{ax_2}-\frac3a$$
又 $a=\dfrac{\ln x_i+1}{x_i},i=1,2$
即证 $$x_1+\frac{1-3x_1}{\ln x_1+1}<x_2+\frac{1-3x_2}{\ln x_2+1}$$
令 $$F(x)=x+\frac{1-3x}{\ln x+1}, x>\frac1e$$
只需证 $$F'(x)=\frac{\ln^2x-\ln x-\frac1x+1}{\left(\ln x+1\right)^2}\geq0,x>\frac1e$$
自行验证即可，此处略。

Aluminiumor

不妨设 $x_1<x_2$
$$\frac1a=\frac{x_1-x_2}{\ln x_1-\ln x_2}<x_1x_2$$
$$\Longleftrightarrow \ln x_1+\frac{1}{x_1}<\ln x_2+\frac{1}{x_2}$$
$$\Longleftrightarrow \ln x_1+\frac{1}{x_1}+\frac{\ln x_1+1}{x_1}<\ln x_2+\frac{1}{x_2}+\frac{\ln x_2+1}{x_2}$$
令 $$F(x)=\ln x+\frac{\ln x+2}{x}$$
$$F'(x)=\frac{x-\ln x-1}{x^2}\geq0$$
故得证.

aishuxue

每一种方法都不简单，学习了！