抓到一只“缝合怪”

realnumber

O~K~系统开启中ing, 最近玄幻小说是不是看多了，持续的莫名低鸣声中，凭空显示一个金色的进度条推进了1/3,好吧到底完成啥了，也没啥啊，昨晚睡得也挺好的，不会是做了这个题，

题目：函数$f(x)=\frac{e^x}{x}-\ln x+x-a$,证明：若函数$f(x)$有两个零点$ x_1,x_2$,则$x_1x_2<1$.

$f(x)=\frac{e^x}{x}-\ln x+x-a=e^{x-\ln x}+(x-\ln x)-a$,
函数$g(x)=e^x+x$在R上单调递增，a=g(x)有且仅有唯一的解,记为b,即a=g(b),
那么原题转化为$h(x)=x-\ln x=b$有两个不等的解$x_1,x_2$,则$x_1x_2<1$.
$y=h(x)=x-\ln x,x>0$,在(0,1)递减，在(1,$+\infty$)递增.
不妨设$0<x_1<1<x_2$

而$x_1x_2<1\iff  0<x_1<\frac{1}{x_2}<1 \iff h(x_2)=h(x_1)>h(\frac{1}{x_2})$.
即只需证明$h(x_2)-h(\frac{1}{x_2})>0,x_2>1$成立，这个只是导数证不等式的常规问题.