极值点问题

敬畏数学

函数$f(x）=\dfrac{x}{e^x}  $,记函数$ f（x） $的极值点为k，若$ f（m）=f（n），且m<n $,证明：$ 2m+n>e^k $

kuing

漂移/偏移 套路呗：
易知 `k=1`，条件即 `m/e^m=n/e^n`，得 `\ln(n/m)=n-m`，可以证明当 `x>1` 时
\[\ln x>e\cdot\frac{x-1}{x+2},\]所以
\[n-m=\ln\frac nm>e\cdot\frac{\frac nm-1}{\frac nm+2}=e\cdot\frac{n-m}{n+2m},\]即 `n+2m>e`。

敬畏数学

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敬畏数学

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高手，就是那个不等式证不出来。请教？那个不等式两边同乘(x+2)即可。这题有点反常态(一般lnx前面为常数最好)。因为求导后另外一个极值点无法求出。需要变形处理。

力工

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$lnx>e\frac{x-1}{x+2}$第一次见到，高，实在是高啊。

敬畏数学

回复 5# 力工
这个不等式直接证明好像不行，主要是零点区间卡不住！一定要变形。。。。？？