这类用对数平均不等式解决不了的双变量问题咋办？

chudengshuxue

方程 $\frac{\ln x}{x}=m$ 的两个零点是 $x_1, x_2$，求证：$x_1+x_2>\frac{3}{m}-e$.

AzraeL

设$x_1<{\rm e}<x_2$,那么
\[
\dfrac{mx_1-1}{x_1-{\rm e}}=\dfrac{\ln x_1-1}{x_1-{\rm e}}>\dfrac2{x_1+{\rm e}}.\]
即
\[
mx_1^2+(m{\rm e}-3)x_1+{\rm e}<0.\]
同样有
\[
mx_2^2+(m{\rm e}-3)x_2+{\rm e}>0.\]
于是
\[
x_1+x_2>\dfrac3m-{\rm e}.\]

chudengshuxue

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    厉害！咋想到用那个不等式的呢？

facebooker

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ALG 推出的 二次拟合

走走看看

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参见:zhuanlan.zhihu.com/p/362578100

chudengshuxue

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    对数平均不等式没问题，都知道。问题是这道题可以用对数平均不等式解决？还是不明白。

走走看看

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这道题是直接套用对数平均值不等式得到的，一点都没有引深啊。

根据$\frac{lnx}{x}$用导数易判断它的单调性和极值点，从而得出$x_1<e<x_2,m>0$。

第一个式子选择的是$a=x_1$和$b=e$。

直接代入对数不等式的右边：$\frac{x_1-e}{lnx_1-lne}＜\frac{e+x_1}{2}$

展开，并注意到$lnx_1=mx_1,lne=1$就得2楼的第一个二次不等式。

再令$a=e，b=x_2$代入并整理可得到2楼的第二个二次不等式。

然后根据这个二次不等式的图象，可知$x_1、x_2$分别大于这函数的两个零点值$x_{10}、x_{20}，x_1+x_2＞x_{10}+x_{20}$。

根据韦达定理就得到要证的不等式。

需要指出的是，用对数平均值不等式在高考中肯定要扣分的，因为超纲了。

ljh25252

另一个思路,但是先引入一些均值不等式:
对数平均:$\frac{x-y}{\ln x-\ln y}$,算数平均:$\frac{x+y}{2}$,指数平均:$\frac{1}{e}\left(\frac{y^y}{x^x}\right)^\frac{1}{y-x}$,几何平均:$\sqrt{xy}$,调和平均:$\frac{2}{\frac{1}{x}+\frac{1}{y}}$
令$x=x,y=1$得到一元的形式
$$H=\frac{2x}{x+1},G=\sqrt{x},L=\frac{x-1}{\ln x},I=\frac{1}{e}x^\frac{x}{x-1},A=\frac{x+1}{2}$$
用到如下几个浅显(意思是我不给出证明啦)结论
1.$H\le G \le L \le I \le A$
2.$H=\frac{G^2}{A}$
3.$\ln \left(\frac{G}{I}\right)=1-\frac{A}{L}$
4.$\ln G=\frac{A-1}{L}$


下面证明原题
$$f(x)=\frac{\ln x}{x},f(x_1)=f(x_2)=m\Rightarrow x_1+x_2>\frac{3}{a}-e$$
做比值代换得:
$$x_1=e^{\frac{1}{L}}\quad x_2=G^2e^{\frac{1}{L}}\quad m=\frac{1}{L}e^{-\frac{1}{L}}$$

$$x_1+x_2>\frac{3}{a}-e\Leftrightarrow 2A-3L>-e^{\frac{L-1}{L}}$$

由于题主所提到的均值不等式:$A>L$过于弱,考虑下面这个"加强版"
$$2A-3L>-H$$
只需证明
$$H<e^\frac{L-1}{L}$$
注意到
$$\ln H-\ln\left(\frac{G}{I}\right)=\ln\left(\frac{G^2}{A}\right)-\ln\left(\frac{G}{I}\right)=\ln\left(\frac{IG}{A}\right)<\ln\left(\frac{AG}{A}\right)=\ln G=\frac{A-1}{L}$$
等式左边加上$\ln\left(\frac{G}{I}\right)$,等式右边加上$1-\frac{A}{L}$又由结论3:$\ln\left(\frac{G}{I}\right)=1-\frac{A}{L}$,故
$$\ln H<1-\frac{1}{L}$$
即证