$f(x)=(x-1)\ln x,f(a)=f(b)=m,a<b$，对数平均

郝酒

比较$\frac{\ln b-\ln a}{b-a}$和$1$的大小.

zhcosin

这是一个错误的证明
令 $t=\frac{b}{a}-1$，有
\[  \frac{\ln{b}-\ln{a}}{b-a} = a \frac{\ln{(1+t)}}{t} \]
由熟知的不等式 $\ln{(1+t)}<t(t>-1)$有如下情况
若 $a<b$，则$t>0$，有
\[ \frac{\ln{b}-\ln{a}}{b-a} <a<b \]
若$a>b$，则$-1<t<0$，有
\[ \frac{\ln{b}-\ln{a}}{b-a} >a>b \]
由题中条件 $f(a)=f(b)$，易证 $a<1<b$，因此
\[ \frac{\ln{b}-\ln{a}}{b-a} <a<1<b \]

爪机专用

回复 2# zhcosin

应该是 $\frac{\ln{b}-\ln{a}}{b-a} = \frac1a \frac{\ln{(1+t)}}{t}$ 吧

郝酒

zhcosin的对数平均用错了：
应该是$\sqrt{ab}\leq\frac{\ln b - \ln a}{b-a}\leq\frac{a+b}{2}$.
但是如果放到$\sqrt{ab}$或$\frac{a+b}{2}$，再用偏移和1比较就反了：
$\sqrt{ab}<1,\frac{a+b}{2}>1$.
对数平均有没有更精细的不等式呀？

kuing

对数平均有没有更精细的不等式呀？
郝酒 发表于 2022-3-2 20:14

大把。
这里用
\[\frac{\ln a-\ln b}{a-b}>\left( \frac2{a^{1/3}+b^{1/3}} \right)^3\]
应该够了。上式等价于当 `t>1` 时
\[\ln t>\frac{8(t^3-1)}{3(t+1)^3},\]
上式在 kuing.cjhb.site/forum.php?mod=redirect&goto=findpost&ptid=2517&pid=16393 第30楼证过。

随后就变成证明 `a^{1/3}+b^{1/3}<2`，再换元变成：
`g(x)=(x^3-1)\ln x`, `g(a)=g(b)`, `a<b`，证 `a+b<2`。
=====
糟糕，这个在远处 `b` 会很大，肯定不成立呢，唉……白写鸟

hbghlyj

似乎做出了
$\frac{\ln b-\ln a}{b-a}=\frac{b\ln b-a\ln a}{b-a}=\ln a+b\frac{\ln b-\ln a}{b-a}$$⇒\frac{\ln b-\ln a}{b-a}=\frac{-\ln a}{b-1}$
$b>1$$⇒\ln b>1-e^{1-b}⇒(a-1)\ln a=(b-1)\ln b>(1-e^{1-b})(b-1)=(e^{1-b}-1)\ln e^{1-b}$$⇒a>e^{1-b}⇒-\ln a<b-1⇒\frac{-\ln a}{b-1}<1$

kuing

$f(x)=(x-1)\ln x,f(a)=f(b)=m,a<b$
比较$\frac{\ln b-\ln a}{b-a}$和$1$的大小.
郝酒 发表于 2022-3-2 18:09

只要证明 `\ln b-b>\ln a-a`。

下面证明更强结论：`\ln b-b-(\ln a-a)` 关于 `m` 递增。

由反函数求导，有
\begin{align*}
\frac{\rmd\bigl(\ln b-b-(\ln a-a)\bigr)}{\rmd m}&=\left( \frac1b-1 \right)\frac1{f'(b)}-\left( \frac1a-1 \right)\frac1{f'(a)}\\
&=\left( \frac1b-1 \right)\frac1{1-\frac1b+\ln b}-\left( \frac1a-1 \right)\frac1{1-\frac1a+\ln a}\\
&=-\frac1{1+\frac{b\ln b}{b-1}}+\frac1{1+\frac{a\ln a}{a-1}},
\end{align*}
要证上式为正，只需证
\[\frac{a\ln a}{a-1}<\frac{b\ln b}{b-1},\]
由条件有 `(a-1)\ln a=(b-1)\ln b`，上式化为
\[\frac a{(a-1)^2}<\frac b{(b-1)^2},\]
由 `a<1<b`，上式两边开荒等价于
\[\frac{\sqrt a}{1-a}<\frac{\sqrt b}{b-1},\]
去分母化简就是 `\sqrt{ab}<1`，下略。

郝酒

谢谢ku版，学习了。
上面我的的对数平均写错了，应该是$\sqrt{ab}\leq\frac{b-a}{\ln b-\ln a} \leq \frac{a+b}{2}$

kuing

回复 8# 郝酒

我只是运气好。
用反函数求导证单调性十次有八次都撸不下去。

isee

回复 9# kuing


所以都麻烦，包括反函数的泰勒展开（不知道个这正式名称是啥）