对所有满足$a-\ln a=b-\ln b$的$a$和$b(a≠b)$都有$a^p+b^p>2$，求$p$的取值范围

hbghlyj

由对数平均不等式$\dfrac{a+b}{2}>\dfrac{a-b}{\ln a- \ln b}>\sqrt{ab}$，我们可以考虑如下不等式来寻找 $p$ 的取值范围：
$$\sqrt[p]{\dfrac{a^p+b^p}{2}}>\dfrac{a-b}{\ln a-\ln b}=1$$
令 $a > b$，将不等式齐次化：设 $t = \frac{a}{b} > 1$
$$\sqrt[p]{\dfrac{t^p+1}{2(t-1)^p}}>\dfrac{1}{\ln t}$$
即为寻找使下列不等式对 $t>1$ 成立的 $p$ 的取值范围：
$$\ln t- \sqrt[p]{\dfrac{2(t-1)^p}{t^p+1}}>0$$
后续？

kuing

首先证明如下不等式
\[\frac{a-b}{\ln a-\ln b}<\left( \frac{a^{1/3}+b^{1/3}}2 \right)^3. \quad(*)\]

不妨令 $a=t^3b$, $t>1$，则上式等价于
\[\frac{t^3-1}{3\ln t}<\left( \frac{t+1}2 \right)^3,\]
即
\[\ln t>\frac{8(t^3-1)}{3(t+1)^3},\]
而这正是这帖 forum.php?mod=redirect&goto=findpost& … =16393&ptid=2517（30 楼）证过的，所以式 (*) 成立。

那么根据幂平均不等式，当 `p\geqslant1/3` 时都恒有
\[\frac{a-b}{\ln a-\ln b}<\left(\frac{a^p+b^p}2\right)^{1/p}.\quad(**)\]

另一方面，假设 `p<1/3`，令
\[f(x)=\ln x-(x-1)\left(\frac2{x^p+1}\right)^{1/p},\]
则不难计算出
\[f(1)=f'(1)=f''(1)=0,~f'''(1)=\frac{3p-1}4<0,\]
故存在 `x_0>1` 使 `f(x_0)<0`，代回去得
\[\frac{x_0-1}{\ln x_0}>\left(\frac{x_0^p+1}2\right)^{1/p}.\]

综上，使式 (**) 恒成立的 `p` 的范围就是 `p\geqslant1/3`。

hbghlyj

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