与自然对数有关的不等式

青青子衿 · 发表于 2013-10-1 11:22

睡神 · 发表于 2013-10-1 11:46

这个题很面善，我肯定在哪见过…

kuing · 发表于 2013-10-1 11:57

琴生就好了啊
第二个图片多余

kuing · 发表于 2013-10-1 12:00

左边：$\ln x$ 上凸，故
\[\frac a{a+b}\ln b+\frac b{a+b}\ln a\leqslant\ln\left( \frac a{a+b}\cdot b+\frac b{a+b}\cdot a \right)=\ln\frac{2ab}{a+b}\leqslant\ln\frac{a+b}2;\]

右边：$x\ln x$ 下凸，故
\[\frac{a\ln a+b\ln b}2\geqslant\frac{a+b}2\ln\frac{a+b}2.\]

睡神 · 发表于 2013-10-1 12:28

回复 4# kuing
搜神，给个出处，我老是觉得在哪见过，可是它老是不记得我…

Tesla35 · 发表于 2013-10-1 15:43

回复 5# 睡神

你说的是这个吧：
\item (2004全国卷二)已知函数$f(x)=\ln(x+1)-x,g(x)=x\ln x$.\\
(1)求函数$f(x)$的最大值;\\
(2)设$0<a<b$,证明:$0<g(a)+g(b)-2g\left(\frac{a+b}{2}\right)<(b-a)\ln 2$.
kuing肯定懒得记这种高考题嘛，。。。

kuing · 发表于 2013-10-1 15:48

回复 6# Tesla35

这个跟1#的不一样吧，难也难些。
PS、呃，你全部换行都用 \\ ？

Tesla35 · 发表于 2013-10-1 15:52

回复 7# kuing

右边一样。哈哈
那换行用啥？

kuing · 发表于 2013-10-1 15:52

回复 8# Tesla35

空行

睡神 · 发表于 2013-10-1 17:26

原题好像也在哪见过，非常的面熟…或许在看琴森不等式资料时见过，因为我看到这个第一反应也是往琴森想…哎…我这笨脑袋，都不装东西的…

yhg1970 · 发表于 2014-11-2 00:34

睡神是不是想到了对数平均不等式，网上有个对数平均-算术平均不等式链
另外此不等式的几何意义应该用定比分点坐标公式分析，不妨设b≥a，将右边的分式分子分母同除a，左边的分式分子分母同除b即可。
剪贴板-1.jpg

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