对数平均不等式

青青子衿

\begin{aligned}
& \frac{a \ln b+b \ln a}{a+b} \leq \ln \frac{a+b}{2} \leq \frac{a \ln a+b \ln b}{a+b} \\
& \frac{a^x \ln \left(a^x\right)+b^x \ln \left(b^x\right)}{2} \geq \frac{a^x+b^x}{2} \ln \left(\frac{a^x+b^x}{2}\right)
\end{aligned}

睡神

这个题很面善，我肯定在哪见过…

kuing

琴生就好了啊
第二个图片多余

kuing

左边：$\ln x$ 上凸，故
\[\frac a{a+b}\ln b+\frac b{a+b}\ln a\leqslant\ln\left( \frac a{a+b}\cdot b+\frac b{a+b}\cdot a \right)=\ln\frac{2ab}{a+b}\leqslant\ln\frac{a+b}2;\]

右边：$x\ln x$ 下凸，故
\[\frac{a\ln a+b\ln b}2\geqslant\frac{a+b}2\ln\frac{a+b}2.\]

睡神

回复 4# kuing
搜神，给个出处，我老是觉得在哪见过，可是它老是不记得我…

Tesla35

回复 5# 睡神


    你说的是这个吧：
(2004全国卷二)已知函数$f(x)=\ln(x+1)-x,g(x)=x\ln x$.
(1)求函数$f(x)$的最大值;
(2)设$0<a<b$,证明:$0<g(a)+g(b)-2g\left(\frac{a+b}{2}\right)<(b-a)\ln 2$.
kuing肯定懒得记这种高考题嘛，。。。

kuing

回复 6# Tesla35

这个跟1#的不一样吧，难也难些。
PS、呃，你全部换行都用 \\ ？

Tesla35

回复 7# kuing


    右边一样。哈哈
那换行用啥？

kuing

回复 8# Tesla35

空行

睡神

原题好像也在哪见过，非常的面熟…或许在看琴森不等式资料时见过，因为我看到这个第一反应也是往琴森想…哎…我这笨脑袋，都不装东西的…

yhg1970

睡神是不是想到了对数平均不等式，网上有个对数平均-算术平均不等式链
另外此不等式的几何意义应该用定比分点坐标公式分析，不妨设b≥a，将右边的分式分子分母同除a，左边的分式分子分母同除b即可。