平方+几何>对数+算术

isee

证明：对$0<a<b$，成立$$\sqrt{\frac {a^2+b^2}2}+\sqrt{ab}>\frac {a-b}{\ln a-\ln b}+\frac {a+b}2.$$

kuing

首先证明如下不等式
\[\frac{a-b}{\ln a-\ln b}<\left( \frac{a^{1/3}+b^{1/3}}2 \right)^3. \quad (*)\]

不妨令 $b=t^3a$, $t>1$，则上式等价于
\[\frac{t^3-1}{3\ln t}<\left( \frac{t+1}2 \right)^3,\]
即
\[\ln t>\frac{8(t^3-1)}{3(t+1)^3},\]
而这正是这帖 kuing.cjhb.site/forum.php?mod=redirect&go … d=2517&pid=16393 第30楼证过的，所以式 (*) 成立。

于是，要证原不等式，只需证
\[\sqrt{\frac{a^2+b^2}2}+\sqrt{ab}\geqslant \left( \frac{a^{1/3}+b^{1/3}}2 \right)^3+\frac{a+b}2,\]
作置换 $(a,b)\to(a^6,b^6)$，只需证
\[\frac{a^{12}+b^{12}}2\geqslant \left( \left( \frac{a^2+b^2}2 \right)^3+\frac{a^6+b^6}2-a^3b^3 \right)^2,\]
因式分解后为
\[\frac1{64}(a-b)^2(7 a^{10}+14 a^9 b-9 a^8 b^2+48 a^7 b^3+66 a^6 b^4+132 a^5 b^5+66 a^4 b^6+48 a^3 b^7-9 a^2 b^8+14 a b^9+7 b^{10})\geqslant 0,\]
显然成立，即得证。

PS、这标题如果是我的话会取“平方+几何>对数+算术”
PS2、原不等式虽然非常优美，但论实用性还是上面的式 (*) 好，那是个很强的估计。

isee

回复 2# kuing


    改头换面了，，，“偷梁换柱”

isee

不过，原题是几何均值在右，算术均值也在左。用的减法。

我也“偷梁换柱”对换了下，改成加法了，不过，是否能解题思路有影响，就不知道了，哈哈。

kuing

回复 4# isee

没所谓啦，不过如果非让我选一个，我会选减法，因为这样“距离感”强些：
若记平方平均为 M，对数平均为 S，那四个量的大小关系是 M>A>S>G，原不等式用减法写就是 M-A>S-G，感觉上就是 |MA|>|SG|。
而且还会有其他类似不等式，于是就可以将有确定关系的各种“距离”串成一条链……

kuing

回复 5# kuing

从证法上我也曾经往这方向考虑过，因为以前曾经证明过 |MA|>|GH|（撸题集题目 3.5.11），所以就想会不会有 |GH|>|SG|，可惜不成功，就差一点点（在 a:b 很小的时候不成立），如果成立就好了，毕竟少了一个根号。

色k

这题的参考答案是如何？

isee

回复 7# 色k


    仅把 对数无值留右边，令$b=a(1+x)^2$，欲证不等式化为$$\ln(1+x)>\frac{x^2+2x}{\sqrt{2(1+x)^4+2}-x^2},x>0.$$

   强行求导，得到12次方程。

   不过，用的高等数学写法，可能与是一种经典证法吧，全文如下——


证明：对 $0<a<b$ ，成立
\[
\sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}+\sqrt{a b}-\frac{a+b}{2}>\frac{b-a}{\ln b-\ln a}
\]
（Mathematics Magazine Vol.80(2007),No.5,397）
证明 令 $b=a(1+x)^2$ ，则欲证的不等式化为
\[
\ln (1+x)>\frac{x^2+2 x}{\sqrt{2(1+x)^4+2}-x^2}, x>0
\]
由于上面的式子两边在 $x=0$ 时都等于零，因此为证上式，只需证明
\[
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x} \ln (1+x)>\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x} \frac{x^2+2 x}{\sqrt{2(1+x)^4+2}-x^2}, x>0
\]
即可，而上式等价于
\[
\frac{1}{1+x}> \frac{ \left(\left(\sqrt{2(1+x)^4+2}-x^2\right)(2 x+2)-\left(x^2+2 x\right)\left(\frac{4(1+x)^3}{\sqrt{2(1+x)^4+2}}-2 x\right)\right)}{\left(\sqrt{2(1+x)^4+2}-x^2\right)^2}
\]
而上式经过去分母之后，又等价于证明在 $x>0$ 时
\[
64 x^2+320 x^3+768 x^4+1152 x^5+1224 x^6+ 984 x^7+582 x^8+228 x^9+54 x^{10}+8 x^{11}+x^{12}>0
\]
而此式是显然的，这就证明了原来要证的不等式．

kuing

回复 8# isee

也是个暴~力~流……

isee

回复 9# kuing


    冯贝叶喜欢计算型的解答，比如那个 ∠A=60∘∠A=60∘ 的充要条件是PI=2QI，两种解法（一个是建系，一个是三角）整三页半纸，……