极值点偏移水真深之证 $a+b+2ab>4$

isee

源自知乎提问：zhihu.com/question/624221280/answer/3271142285

题：若两不相等正实数 b，a>0 满足 $a-\ln a=b-\ln b$ ，求证： $a+b+2ab>4$ .

重新写此题，也可以用对数平均值<海伦平均值（ALG 不等式加强式）： $\frac{a-b}{\ln a-\ln b}<\frac{a+4\sqrt{ab}+b}{6}$ 较快的解决.

欲证不等式等价于 \[\frac{a+b+2ab+2}6>1.\] 条件即 $\frac{a-b}{\ln a-\ln b}=1$ ，于是 \[\frac{a+b+\big({\color{blue}{2ab+2}}\big)}6>\frac{a+b+{\color{blue}{4\sqrt{ab}}}}6>1=\frac{a-b}{\ln a-\ln b},\]

得证.

kuing

致各位论坛网友：

由于 hbghlyj 操作数据库失误导致由 2023-9-26 至 2023-11-5 间期的所有帖子的内文都被清空，在此给大家真诚道歉。

现在我们正在浏览这期间的帖子，努力回忆内容，尽可能地多恢复一些，如果您还记得本帖原本的内容，也希望您能编辑回来，麻烦各位了。

isee

致各位论坛网友：

由于 hbghlyj 操作数据库失误导致由 2023-9-26 至 2023-11-5 间期的所有帖子的内文都被清空，在此给大家真诚道歉。

现在我们正在浏览这期间的帖子，努力回忆内容，尽可能地多恢复一些，如果您还记得本帖原本的内容，也希望您能编辑回来，麻烦各位了。