形式简单压轴题三次函数的两零点$x_2-x_1<2-a/2$

isee

22. 已知函数$f\left( x \right)=3x-x^3$，若关于$x$的方程$f\left( x \right)=a$有两个正实数根$x_1,x_2$且$x_1<x_2$.
（1）求实数$a$的取值范围；
（2）求证：$x_2-x_1<2-\frac a2$.




题来自高三上学期期末卷，湖北部分重点中学联考。
第（1）特别的简单，$0<a<2$.

第（2）问算是近期碰到的热点问题，暂时只想到了韦达定理，然后不等式卡住。

isee

这是个压轴题.


(2) 注意到$f(x)$的极大值点是1，易知$0<x_1<1<x_2<\sqrt 3$，由极值点偏移，有$$x_1+x_2<2.$$

记$g(x)=f(x)-a,0<a<2$，则$$g(a/4)=f(a/4)-a<0,g(1)=f(1)-a>0,$$由零点存在定理，知$$1>x_1>\frac a4,$$于是$$x_2-x_1=x_1+x_2-2x_1<2-2x_1<2-\frac a2.$$

这个方向应该OK了.



下面建立在以上没问题的条件下，

这是个压轴题啊，难道不等式真的特别“松”？

敬畏数学

x2转化为x1再对零点x1的进一步估值。

isee

回复 1# isee

找到参考答案了：摘录重点如下：

可证：$x_2+x_2<2$，可得：$a=\left( x_1+x_2 \right)x_1x_2$
要证$x_2-x_1<2-\frac a2$，只需证$x_2-x_1<x_1+x_2-\frac{\left( x_1+x_2 \right)x_1x_2}2$，
即证$\left( x_1+x_2 \right)x_2<4$，因为$x_1+x_2<2$，$x_2<\sqrt 3$，所以$\left( x_1+x_2 \right)x_2<4$显然成立，故$x_2-x_1<2-\frac a2$

kuing

加强为：`x_2-x_1<\sqrt3-a/2`。（还是能取等才舒服）

记 `p=x_1+x_2`, `q=x_1x_2`，则
\[f(x_1)=f(x_2)\iff x_1^2+x_1x_2+x_2^2=3\iff p^2-q=3,\]由 `p^2>4q>0` 得 `2>p>\sqrt3`，然后
\[(x_2-x_1)^2=p^2-4q=12-3p^2,\]以及
\[a=\frac{f(x_1)+f(x_2)}2=\frac{(x_1+x_2)(3-x_1^2+x_1x_2-x_2^2)}2=pq=p(p^2-3),\]所以等价于证
\[\sqrt{12-3p^2}<\sqrt3-\frac12p(p^2-3),\]这里可以求导做，我就懒得写太多，直接两边平方作差分解为
\[\frac14(p^2-3)\bigl( p-\sqrt3 \bigr)\bigl( p^3+\sqrt3p^2-4\sqrt3 \bigr)>0,\]显然成立。

kuing

法二：同楼上有 `x_1^2+x_1x_2+x_2^2=3`，于是
\begin{align*}
\frac{\rmd(x_2-x_1+a/2)}{\rmd a}&=\frac1{f'(x_2)}-\frac1{f'(x_1)}+\frac12\\
&=\frac1{3-3x_2^2}-\frac1{3-3x_1^2}+\frac12\\
&=\frac1{x_1x_2+x_1^2-2x_2^2}-\frac1{x_1x_2+x_2^2-2x_1^2}+\frac12\\
&=\frac1{(x_1-x_2)(x_1+2x_2)}-\frac1{(x_2-x_1)(2x_1+x_2)}+\frac12\\
&=\frac{3(x_1+x_2)}{(x_1-x_2)(x_1+2x_2)(2x_1+x_2)}+\frac12\\
&=\frac{(x_1^2+x_1x_2+x_2^2)(x_1+x_2)}{(x_1-x_2)(x_1+2x_2)(2x_1+x_2)}+\frac12\\
&=\frac{x_1(4x_1^2+7x_1x_2+x_2^2)}{(x_1-x_2)(2x_1+x_2)(x_1+2x_2)}\\
&<0,
\end{align*}即 `x_2-x_1+a/2` 关于 `a` 递减，而 `a\to0` 时 `x_2-x_1+a/2\to\sqrt3`，`a\to2` 时 `x_2-x_1+a/2\to1`，故 `1<x_2-x_1+a/2<\sqrt3`。

其妙

不等式欣赏群(305078297)群内广东东莞郑网友的解答(（仅供参考）：

其妙

不等式欣赏群内陈网友的提示
\begin{aligned}
& m=\left(x_2-x_1\right)^2<3 \\
& -3 a=(m-3) \sqrt{4-\frac{m}{3}}>\frac{18 \sqrt{3}(m-3)}{m+15} \\
& \Rightarrow\sqrt m=x_2-x_1<\sqrt{\frac{18 \sqrt{3}-15 a}{6 \sqrt{3}+a}}<\sqrt{3}-\frac{a}{2}
\end{aligned}

其妙

群内河北-彭网友搜到的解答，较好

其妙

另一群内（数学解题之路研讨群）网友河南-黄药师的解答如下：
\begin{aligned}
x_1^2+x_1 x_2+ & x_2^2=3,3\left(x_1+x_2\right)^2+\left(x_1-x_2\right)^2=12 \Rightarrow x_1+x_2<2 \\
a=f(x)= & x_1\left(3-x_1^2\right)=x_1 x_2\left(x_1+x_2\right) \\
x_2-x_1+\frac{a}{2} &=x_2-x_1+\frac{1}{2} x_1 x_2\left(x_1+x_2\right) \\
& <\left[\frac{1}{4}\left(x_2-x_1\right)^2+1\right]+x_1 x_2 \\
&=\frac{1}{4}\left(x_1+x_2\right)^2+1<2 .
\end{aligned}

isee

回复 6# kuing


看来反客为主，反函数的导数是通法，应当抽空学学~