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v6 2022/8/1 20:37:02
这种简单题本来不值一提，主要是 v6 说高一学生搞，要禁用权方和……
我就说齐次化换元求导呗，v6 又说还没学导数，只让用基本不等式……
于是我首先想到的是待定系数均值，在群里回道：
\[a^2+b^2=a^2+\frac{k^3}a+\frac{k^3}a+b^2+\frac{k^3}{2b}+\frac{k^3}{2b}-k^3\geqslant3k^2+\frac{3k^2}{\sqrt[3]4}-k^3,\]
取等条件
\[a^2=\frac{k^3}a,b^2=\frac{k^3}{2b}\riff a=k,b=\frac k{\sqrt[3]2}\riff\frac2k+\frac{\sqrt[3]2}k=1\riff k=2+\sqrt[3]2,\]
代回去即可。
这方法其实也不咋嘀，主要是最后代回去还需要作化简计算，得化到最后才会发现那是个完全立方。
其实既然权方和是 Holder 的特例，当指数为有理数时 Holder `\Leftrightarrow` Carlson，而 Carlson 可以用均值证，因此这题均值肯定能直接写出来，不需要待定系数啥的。
仿照《数学空间》第 14 期最后一页那里的证法，本题就可以这样均值：
\begin{align*}
\frac{a^2}{a^2+b^2}+\frac2a+\frac2a&\geqslant\frac{3\sqrt[3]4}{\sqrt[3]{a^2+b^2}},\\
\frac{b^2}{a^2+b^2}+\frac1b+\frac1b&\geqslant\frac3{\sqrt[3]{a^2+b^2}},
\end{align*}
两式相加即得
\[3\geqslant\frac{3\sqrt[3]4+3}{\sqrt[3]{a^2+b^2}}\iff a^2+b^2\geqslant\bigl(\sqrt[3]4+1\bigr)^3.\]
另外，如果接受柯西，也可以用两次柯西，像这样：
\begin{align*}
(a^2+b^2)\left( \frac{m^3}a+\frac{n^3}b \right)&\geqslant\bigl( \sqrt{m^3a}+\sqrt{n^3b} \bigr)^2,\\
(m^2+n^2)\left( \frac{m^3}a+\frac{n^3}b \right)&\geqslant\left( \sqrt{\frac{m^5}a}+\sqrt{\frac{n^5}b} \right)^2,
\end{align*}
两式相乘后再柯西
\begin{align*}
(a^2+b^2)(m^2+n^2)\left( \frac{m^3}a+\frac{n^3}b \right)^2&\geqslant\bigl( \sqrt{m^3a}+\sqrt{n^3b} \bigr)^2\left( \sqrt{\frac{m^5}a}+\sqrt{\frac{n^5}b} \right)^2\\
&\geqslant(m^2+n^2)^4,
\end{align*}
即得
\[(a^2+b^2)\left( \frac{m^3}a+\frac{n^3}b \right)^2\geqslant(m^2+n^2)^3.\]
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isee
发表于 2022-8-2 23:43
hbghlyj
发表于 2022-8-3 10:57
一般系数也适用
