来自减压群的中线三角形面积不小于垂线三角形面积

kuing

话说今天中午：

生如夏花 12:42:32
今天在初中群，讨论一个题目，锐角三角形ABC，三条中线重新构成三角形，称为中线三角形。
同理，三条高构成的三角形称为垂线三角形。
能否证明中线三角形面积不小于垂线三角形面积?
zhcosin 12:43:49
不是交于一点的吗
是拿长度作三边么
生如夏花 12:44:29
是呀
zhcosin 12:44:38
那就拿长度公式加海伦公式强算  
生如夏花 12:45:02
受不了
answer 12:45:18
超出范围了，不做
zhcosin 12:46:08
这本来就不是考试的题嘛
生如夏花 12:48:00
本来原题告诉我们大三角形面积为4，求中线三角形面积，可以得到必为3
然后，发挥一下，就想了，垂线三角形是比这个小吧？

当时我还没睡够，看完聊天记录感觉如zhcosin所说用海伦应该很容易，就没回复了，不过刚刚细想了下，还是需要用一些不等式来玩的，下面写写。

我们将去掉“锐角三角形”这一条件，结论依然是成立的。

设原三角形面积为 $S$，易知中线三角形面积为 $3S/4$，根据海伦公式，只需证明
\[(h_a+h_b+h_c)\prod (h_a+h_b-h_c)\leqslant 9S^2,\]
顺便说明一下，三条高线长其实未必能构成三角形，不过这里并不需要顾虑这一点，因为即便不能构成，上式左边也非正，不影响不等式的成立。
熟知 $(x+y-z)(y+z-x)(z+x-y)\leqslant xyz$ 对任意正数成立，所以只需证
\[(h_a+h_b+h_c)h_ah_bh_c\leqslant 9S^2,\]
由 $h_a=2S/a$ 知上式等价于
\[\left( \frac 1a+\frac 1b+\frac 1c \right)\frac{16S^2}{abc}\leqslant 9,\]
作内切圆代换后，等价于
\[\left( \frac 1{y+z}+\frac 1{z+x}+\frac 1{x+y} \right)\frac {16(x+y+z)xyz}{(y+z)(z+x)(x+y)}\leqslant 9,\]
由 $4/(y+z)\leqslant1/y+1/z$ 得
\[\frac 1{y+z}+\frac 1{z+x}+\frac 1{x+y}\leqslant \frac 12\left( \frac 1x+\frac 1y+\frac 1z \right)=\frac {yz+zx+xy}{2xyz},\]
所以只需证
\[8(yz+zx+xy)(x+y+z)\leqslant 9(y+z)(z+x)(x+y),\]
而这也是熟知的结论，所以命题得证。

Tesla35

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强

isee

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    果然是改编，发散咯，初中范围内求中线围成三角形的面积与原三角形面积之间的关系多。三高，三角线等，是否能够构成三角形，却没那么明显了。

kuing

不知角平分线的会怎样，估计也会有类似结论，但角平分线长公式较复杂，证起来可能很难