来自减压群v6的一道椭圆

kuing

v6mm131(4744*****) 19:52:07

大家试试这个题的搞法

解：沿坐标轴方向作“伸缩变换”将椭圆变成圆，如图，则所有直线的斜率都变为原来的一半，那么变换后依然有 $k_{AD}:k_{CB}=2:1$，作 $EH\perp AD$ 于 $H$，则有
\begin{align*}
k_{AD}:k_{CB}=2:1&\iff\tan\angle DAB=2\tan\angle CBA\\
&\iff \tan\angle DAB=2\tan\angle CDA\\
&\iff \frac{EH}{HA}=2\cdot\frac{EH}{HD}\\
&\iff HD=2HA\\
&\iff EB=2EA,
\end{align*}
故此，对于变换前，同样有 $EB=2EA$，易得 $E(-1/3,0)$，所以 $k=3$。

shidilin

话说“减压群”是个什么群啊？

singular

常规思路也能做出来，需要转换一下

kuing

回复 2# shidilin

就是用来减压的[阴险]你懂的

力工

回复 4# kuing

做题减压嘛，遇到难题有k神在，可以减少焦虑感。

游客

用直线AD、BC的方程，然后把C、D两点的坐标表示出来，最后D、F、C 三点共线，计算应该容易的吧？
\begin{aligned}
& \left\{\begin{array}{l}
y=m(x-1) \\
4 x^2+y^2=4
\end{array} \Rightarrow\left(m^2+4\right) x^2-2 m^2 x+\left(m^2-4\right)=0 \Rightarrow C\left(\frac{m^2-4}{m^2+4}, \frac{-8 m}{m^2+4}\right) ;\right. \\
& \left\{\begin{array}{l}
y=2 m(x+1) \\
4 x^2+y^2=4
\end{array} \Rightarrow\left(m^2+1\right) x^2+2 m^2 x+\left(m^2-1\right)=0 \Rightarrow D\left(\frac{1-m^2}{m^2+1}, \frac{4 m}{m^2+1}\right) ;\right. \\
& \Rightarrow \frac{-8 m-m^2-4}{m^2-4}=\frac{4 m-m^2-1}{1-m^2}=k . \\
& \Rightarrow\left\{\begin{array}{l}
(k+1) m^2+8 m+4-4 k=0 \\
(k-1) m^2+4 m-(k+1)=0
\end{array}\right. \\
& \Rightarrow(k-3) m^2+2 k-6=0 \Rightarrow k=3 .
\end{aligned}