来自减压群的根号递推数列

kuing

生如夏花(2365*****) 2018/9/17 18:45:48
算了，我贴原题

提问者后来自己用三角换元搞定了，我不太想用三角。

令 `a_n=2^nb_n`，递推化为
\[b_{n+1}=\frac45b_n+\frac35\sqrt{1-b_n^2},\]
注意到
\[\left( \frac45b_n+\frac35\sqrt{1-b_n^2} \right)^2+\left( \frac35b_n-\frac45\sqrt{1-b_n^2} \right)^2=1,\]
所以
\[1-b_{n+1}^2=\left( \frac35b_n-\frac45\sqrt{1-b_n^2} \right)^2,\]
因此
\begin{align*}
b_{n+2}&=\frac45b_{n+1}+\frac35\sqrt{1-b_{n+1}^2}\\
&=\frac45\left( \frac45b_n+\frac35\sqrt{1-b_n^2} \right)+\frac35\left| \frac35b_n-\frac45\sqrt{1-b_n^2} \right|,
\end{align*}
那么，当 `3b_n\geqslant4\sqrt{1-b_n^2}`，即 `b_n\geqslant0.8` 时，上式打开绝对值化简就是
\[b_{n+2}=b_n,\]
由 `b_0=0` 不难证明当 `n\geqslant2` 时恒有 `b_n\in[0.8,1]`（比如用数归），由此可见当 `n\geqslant2` 时都必定有 `b_{n+2}=b_n`，所以我们只需计算到 `b_3` 就足够了，下略。

kuing

事实上，无论 `b_0` 取 `[-1,1]` 中的何值，经过有限步迭代后都会进入 `[0.8,1]` 中去（取 `-1` 时经验证发现 `b_4` 进入，这应该是最大步数了），也就是说无论初始值如何，`b_n` 的后面一定是二循环的。

kuing

在提问者贴原题前：

生如夏花(2365*****) 17:11:54
问个简单问题，2^n*sin（na），1到n求和是啥？
生如夏花(2365*****) 17:39:32
哦，可能有问题，sin要加个绝对值，好弄出来吗？
大色k(249533164) 17:45:42
妹的，刚弄好，又加……

大色k(249533164) 17:47:41
加绝对值就算了……

大概就是1#的原题在用三角时没考虑绝对值所致，但这个求和确实也能求，嘛，反正当时草稿已经打好，不发白不发，还是贴上来记录一下吧。

问题：设数列 `x_n=2^n\sin(na)`，`S_n` 为其前 `n` 项和，求 `S_n`。

解：令 `t=\cos a+i\sin a`，则
\begin{align*}
S_n&=\sum_{k=1}^n2^{k-1}i(t^{-k}-t^k)\\
&=i\left( t^{-1}\sum_{k=1}^n(2t^{-1})^{k-1}-t\sum_{k=1}^n(2t)^{k-1} \right)\\
&=i\left( \frac{t^{-1}(1-2^nt^{-n})}{1-2t^{-1}}-\frac{t(1-2^nt^n)}{1-2t} \right)\\
&=i\cdot\frac{1-t^2+2^{n+1}(t^{1-n}-t^{n+1})+2^n(t^{n+2}-t^{-n})}{(t-2)(1-2t)}\\
&=\frac{i(t^{-1}-t)+2^{n+1}i(t^{-n}-t^n)+2^ni(t^{n+1}-t^{-n-1})}{5-2t-2t^{-1}}\\
&=\frac{2\sin a+2^{n+2}\sin(na)-2^{n+1}\sin\bigl((n+1)a\bigr)}{5-4\cos a}.
\end{align*}

isee

这题中递推式太复杂，看一眼就闪了

其妙

沿着kuing的足迹（那一步同除以$2^n$是妙手，类似的，在解决这类递推数列$a_{n+1}=pa_n+c\cdot q^n$会用到），下面用数学归纳法证明:$b_{n+2}=b_n$，$n\geqslant2$，
初始值验证略（其实我没有验证，如果初始值错误，那以下的就甭看了，基础不牢，数学归纳法就地动天摇呀），
假设$b_{k+2}=b_k$，$k\geqslant2$，
则$b_{k+3}=\dfrac45b_{k+2}+\dfrac35\sqrt{1-b_{k+2}^2}=\dfrac45b_{k}+\dfrac35\sqrt{1-b_{k}^2}=b_{k+1}$，
于是$b_{n+2}=b_n$恒成立，$n\geqslant2$
看来数学归纳法虽然其貌不扬（高手觉得没啥技术含量），有时候威力也是蛮大的。
但是如何发现这个递推数列的“周期”？三角换元倒是一种途径。另外，也可以试一试构造复数。