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源自知乎提问
题：已知数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_1=1$ 且 $a_{n+1}=\frac{a_n}{a_n^2+1}$ ，则下列正确的是（ ）
A. 数列 $\{a_n\}$ 为减函数 B. $0<a_n\leqslant 1$ D. $\frac1{11}<a_{50}<\frac1{10}$
由 $a_1=1$ , $a_{n+1}=\frac{a_n}{a_n^2+1}$ 知 $a_2=\frac12,\,a_3=\frac25,\,a_n>0$ ，而 $\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac1{a_n^2+1}<1$ 即 $\{a_n\}$ 递减且 $0<a_n\leqslant 1$ .
再由 $\frac1{a_{n+1}}=a_n+\frac 1{a_n}$ 有 \begin{gather*}
\frac1{a_{n+1}^2}=a_n^2+\frac1{a_n^2}+2,\\[1ex]
\frac1{a_{n+1}^2}-\frac1{a_n^2}=a_n^2+2>2,\\[1ex]
\sum_{k=2}^{n-1}\left(\frac1{a_{k+1}^2}-\frac 1{a_{k}^2}\right)=\frac1{a_n^2}-4>2(n-2),\\[1ex]
a_n^2<\frac1{2n},
\end{gather*} 同理当 $n\geqslant 2$ 时\begin{gather*}
\frac1{a_{n+1}^2}-\frac1{a_n^2}=a_n^2+2\leqslant a_2^2+2=\frac94,\\[1ex]
\sum_{k=1}^{n-1}\left(\frac1{a_{k+1}^2}-\frac 1{a_{k}^2}\right)=\frac1{a_n^2}-1<\frac94(n-1),\\[1ex]
a_n^2>\frac1{\frac{9n-5}4},
\end{gather*} 于是 \[\frac1{111\frac14}<a_{50}^2<\frac1{100},\] 即选项 A，B，D 正确. |
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