证明 $\displaystyle\frac12+\frac13+\cdots+\frac1{3^n}\geqslant \frac 56n$.

isee

源自知乎提问

证明： $\displaystyle\frac12+\frac13+\cdots+\frac1{3^n}\geqslant \frac 56n$.

尝试数学归纳法.

当 $n=1$ 时，左边等于右边，成立.

假设当 $n=k$ 时有 \[\sum_{i=2}^{3^k}\frac 1i\geqslant \frac 56k,\] 成立，则 \begin{align*}
\sum_{i=2}^{3^{k+1}}\frac 1i&\geqslant\frac56k+\frac1{3^k+1}+\frac1{3^k+2}+\cdots+\frac1{3^{k+1}}\\[1ex]
&=\frac56k+\color{blue}{\frac1{3^k+1}+\cdots+\frac1{3^k+3^k}}+\frac1{3^k+3^k+1}+\cdots+\frac1{3^{k+1}}\\[1ex]
&>\frac56k+\frac 1{3^k+3^k}\cdot 3^k+\frac 1{3^{k+1}}\cdot 3^k\\[1ex]
&=\frac56(k+1),
\end{align*} 即 $n=k+1$ 时亦成立，由数学归纳法知命题成立.

hbghlyj

$\sum_{k=1}^{3^n}\frac1k\sim\log(3^n)=n\log3$
$\log3>1>\frac56$