来自讨论组的小不等式禁用二次函数

kuing

v6  0:23:34
a>0, (a+c)(a+b+c)<0  ==>  (b-c)^2>4a(a+b+c)
纯代数怎么证明

kuing  0:24:12
不许用判别式？

v6  0:24:27
最好绕开二次函数图象那种
或者kk把你解法我学习一下kk

kuing  0:26:49
一看就是构造二次函数
不过你不让，那就算鸟

v6  0:27:29
也就是说纯粹代数堆砌没有办法？

kuing  0:28:32
理论上肯定存在，就是得想

kuing  0:29:41
有了

v6  0:29:54

我要

kuing  0:30:30
(b-c)^2-4a(a+b+c)=(2a+b+3c)^2-8(a+c)(a+b+c)>0

v6  0:30:48
yyds

kuing  0:30:50
装逼效果杠杠嘀

稍微解释一下吧……

构造二次函数的方法就是令 f(x)=ax^2+(b-c)x+(a+b+c)，条件就是 f(-1)f(0)<0，结论就是 Δ>0，所以是显然的。

至于那装逼解法，想法是寻找一个 k<0 使得 (b-c)^2-4a(a+b+c)≥k(a+c)(a+b+c)>0，
然后考虑 (b-c)^2-4a(a+b+c)-k(a+c)(a+b+c) 关于 a 的判别式，
计算结果为 (8+k)((4+k)b^2+4c^2)，于是取 k=-8 便可得到该恒等式。
（还是用了判别式

Canhuang

单壿教授给过类似题目的不等式解法，并评价这种方法比判别式法更好。这里模仿单老的解法。
不妨设 $a+c<0,a+b+c>0.$
$(b-c)^2\geqslant (b+a)^2 \geqslant 4ab\geqslant 4a(a+b+c).$