求解一个斐波那契数列性质相似的特殊数列题

snowblink

在各项均为正整数，且满足下列条件的数列 $\an$ 中，记 $a_9$ 的可能取值中的最大值和最小值分别为 $M$ 和 $m$，求 $M+m$ 的值．
（1）$a_7=40$
（2）$\forall n \inN^*, a_{n+2}= \begin{cases}a_{n+1}+a_n, & a_{n+1} \text { 不是 } 3 \text { 的倍数} \\ \frac{a_{n+1}}{3}, & a_{n+1} \text { 是 } 3 \text { 的倍数}\end{cases}$

Aluminiumor

显然 $a_8=a_7+a_6=40+a_6$
故 $a_9\leq a_8+a_7=80+a_6\leq80+40\times3=200$
显然存在数列满足取等，$M=200$.
下面求 $m$ 的值.
$(\mathbf{I})$ 若 $3\mid a_8$，则 $a_9=(40+a_6)/3$
此时 $a_6=3k+2,k\in\mathbb{N}$，我们尝试求其最小值。
$3\nmid a_6$，那么 $a_5=a_7-a_6=38-3k$
$3\nmid a_5$，那么 $a_4=a_6-a_5=6k-36$
$3\mid a_4$，说明 $a_5=a_4/3\Longrightarrow k=10$
这意味着 $3\mid a_8$ 的情况下 $a_6$ 只能为 $32$
也显然存在数列满足 $a_6=32$
$(\mathbf{II})$ 若 $3\nmid a_8$，则 $a_9=a_8+a_7>40>32$ 因此这种情形毋需考虑.
综上，$m=24$.