求助，该题的答案

weigang99888

8．试证：
a）如果对于任何 $n \in \mathbb{N}$ 有 $a_n \geq a_{n+1}>0$ ，且 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 收敛，则当 $n \rightarrow \infty$ 时 $a_n=o\left(\frac{1}{n}\right)$ ；
b）如果 $b_n=o\left(\frac{1}{n}\right)$ ，则必能做出一个收敛级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$，使得当 $n \rightarrow \infty$ 时，$b_n=o\left(a_n\right)$ ；
c）如果正项级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 收敛，则以 $A_n=\sqrt{\sum_{k=n-1}^{\infty} a_k}-\sqrt{\sum_{k=n}^{\infty} a_k}$ 为项的级数 $\sum_{n=2}^{\infty} A_n$ 也收敛，并且当 $n \rightarrow \infty$ 时，$a_n=o\left(A_n\right)$ ；
d）如果正项级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 不收敛，则以 $A_n=\sqrt{\sum_{k=1}^n a_k}-\sqrt{\sum_{k=1}^{n-1} a_k}$ 为项的级数 $\sum_{n=2}^{\infty} A_n$ 也不收敛，并且当 $n \rightarrow \infty$ 时，$A_n=o\left(a_n\right)$ ；

由c）与d）推知，没有任何收敛（发散）级数，能够做为用比较法对其他级数判断收敛（发散）的万能的标准级数．

战巡

回复 1# weigang99888

(a)
反证法，假设$a_n\ne o(1/n)$，即$\lim_{n\to \infty}na_n>0$
由O'Stolz定理可知
\[\frac{a_n}{\frac{1}{n}}=\frac{\sum_{k=1}^na_k}{\sum_{k=1}^n\frac{1}{k}}>0\]
于是
\[\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^na_k=\infty\]
矛盾出现，所以$a_n=o(\frac{1}{n})$

(b)
怀疑有误
由于$b_n=o(\frac{1}{n})$推不出$\sum b_n$收敛，倘若它不收敛，一切没戏，若要证明存在相关数列使得$a_n=o(b_n)$倒没问题

(c)
\[\sum_{n=2}^\infty A_n=\sqrt{\sum_{k=1}^\infty a_k}<\infty\]
\[A_n=\sqrt{\sum_{k=n-1}^\infty a_k}-\sqrt{\sum_{k=n}^\infty a_k}=\frac{a_{n-1}}{\sqrt{\sum_{k=n-1}^\infty a_k}+\sqrt{\sum_{k=n}^\infty a_k}}\]
\[\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{A_n}=\lim_{n\to\infty}(\sqrt{\sum_{k=n-1}^\infty a_k}+\sqrt{\sum_{k=n}^\infty a_k})\frac{a_{n}}{a_{n-1}}\]
其中由于级数收敛，$\sqrt{\sum_{k=n-1}^\infty a_k}+\sqrt{\sum_{k=n}^\infty a_k}\to 0$，而$\frac{a_{n}}{a_{n-1}}<\infty$，因此极限为$0$，也就有$a_n=o(A_n)$

(d)和(c)差不多，此处略