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战巡
发表于 2017-10-17 02:35
回复 1# weigang99888
(a)
反证法，假设$a_n\ne o(1/n)$，即$\lim_{n\to \infty}na_n>0$
由O'Stolz定理可知
\[\frac{a_n}{\frac{1}{n}}=\frac{\sum_{k=1}^na_k}{\sum_{k=1}^n\frac{1}{k}}>0\]
于是
\[\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^na_k=\infty\]
矛盾出现，所以$a_n=o(\frac{1}{n})$
(b)
怀疑有误
由于$b_n=o(\frac{1}{n})$推不出$\sum b_n$收敛，倘若它不收敛，一切没戏，若要证明存在相关数列使得$a_n=o(b_n)$倒没问题
(c)
\[\sum_{n=2}^\infty A_n=\sqrt{\sum_{k=1}^\infty a_k}<\infty\]
\[A_n=\sqrt{\sum_{k=n-1}^\infty a_k}-\sqrt{\sum_{k=n}^\infty a_k}=\frac{a_{n-1}}{\sqrt{\sum_{k=n-1}^\infty a_k}+\sqrt{\sum_{k=n}^\infty a_k}}\]
\[\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{A_n}=\lim_{n\to\infty}(\sqrt{\sum_{k=n-1}^\infty a_k}+\sqrt{\sum_{k=n}^\infty a_k})\frac{a_{n}}{a_{n-1}}\]
其中由于级数收敛，$\sqrt{\sum_{k=n-1}^\infty a_k}+\sqrt{\sum_{k=n}^\infty a_k}\to 0$，而$\frac{a_{n}}{a_{n-1}}<\infty$，因此极限为$0$，也就有$a_n=o(A_n)$
(d)和(c)差不多，此处略 |
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