数列有界性问题

等待hxh

已知严格单调递增的无界数列 $\an$，求证：存在自然数 $N$，使得对一切 $n \geq N$，有
$$
\frac{a_1}{a_2}+\frac{a_2}{a_3}+\ldots+\frac{a_n}{a_{n+1}}<n-2014 ;
$$

kuing

jyeoo.com/math2/ques/detail/681f1c81-29f9-462a-ab93-f34b3610cb01
题有点不同，不过可以参考一下。
原来这题是由 2009 改到 2014 的

其妙

这个网的解析还不错，就是要钱吧，

战巡

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不难不难

\[\frac{a_1}{a_2}+\frac{a_2}{a_3}+...+\frac{a_n}{a_{n+1}}<n-2014\]
\[2014<\frac{a_2-a_1}{a_2}+\frac{a_3-a_2}{a_2}+...+\frac{a_{n+1}-a_n}{a_{n+1}}\]
只要证明右边无界即可

考虑极限：
\[\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}-a_{n}}{(\ln(a_{n+1})-\ln(a_n))a_{n+1}}\]

当$\lim_{n\to \infty}\frac{a_n}{a_{n+1}}$不存在时，由于这货是有界的，只能是出现不同的子列极限不相等，那么必然存在至少一个子列使得$\lim_{n\to\infty}\frac{a_{sn}}{a_{sn+1}}<1$，光是这个子列带入上面就足以令整个和无穷大了

当$\lim_{n\to \infty}\frac{a_n}{a_{n+1}}$存在时，如果$\lim_{n\to \infty}\frac{a_n}{a_{n+1}}<1$，跟上面一样
如果$\lim_{n\to \infty}\frac{a_n}{a_{n+1}}=1$，便有上面的那个极限：
\[\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}-a_{n}}{(\ln(a_{n+1})-\ln(a_n))a_{n+1}}=1\]
显然数列$\ln(a_n)$单调递增且无界，由O'Stolz定理可知：
\[\lim_{n\to\infty}\frac{\sum_{i=1}^n\frac{a_{i+1}-a_{i}}{a_{i+1}}}{\ln(a_{n+1})}=\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}-a_{n}}{(\ln(a_{n+1})-\ln(a_n))a_{n+1}}=1\]
底下是无穷大的，整个极限却有界且不为0，只有上面趋于无穷了

其妙

回复 4# 战巡
大手笔！牛笔！

史嘉

回复 4# 战巡

够狠！