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战巡
发表于 2014-4-10 02:11
本帖最后由 战巡 于 2014-4-10 02:17 编辑 回复 1# 等待hxh
不难不难
\[\frac{a_1}{a_2}+\frac{a_2}{a_3}+...+\frac{a_n}{a_{n+1}}<n-2014\]
\[2014<\frac{a_2-a_1}{a_2}+\frac{a_3-a_2}{a_2}+...+\frac{a_{n+1}-a_n}{a_{n+1}}\]
只要证明右边无界即可
考虑极限：
\[\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}-a_{n}}{(\ln(a_{n+1})-\ln(a_n))a_{n+1}}\]
当$\lim_{n\to \infty}\frac{a_n}{a_{n+1}}$不存在时，由于这货是有界的，只能是出现不同的子列极限不相等，那么必然存在至少一个子列使得$\lim_{n\to\infty}\frac{a_{sn}}{a_{sn+1}}<1$，光是这个子列带入上面就足以令整个和无穷大了
当$\lim_{n\to \infty}\frac{a_n}{a_{n+1}}$存在时，如果$\lim_{n\to \infty}\frac{a_n}{a_{n+1}}<1$，跟上面一样
如果$\lim_{n\to \infty}\frac{a_n}{a_{n+1}}=1$，便有上面的那个极限：
\[\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}-a_{n}}{(\ln(a_{n+1})-\ln(a_n))a_{n+1}}=1\]
显然数列$\ln(a_n)$单调递增且无界，由O'Stolz定理可知：
\[\lim_{n\to\infty}\frac{\sum_{i=1}^n\frac{a_{i+1}-a_{i}}{a_{i+1}}}{\ln(a_{n+1})}=\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}-a_{n}}{(\ln(a_{n+1})-\ln(a_n))a_{n+1}}=1\]
底下是无穷大的，整个极限却有界且不为0，只有上面趋于无穷了 |
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kuing
发表于 2014-4-9 14:28
