圆曲内三角形面积的结论很娇艳

力工

【题】已知四边形 $A B C D$ 的各顶点都在椭圆 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$ 上，且直线 $A B$ 与 $C D$ 的斜率之和为 0 ．
（1）证明：$A, B, C, D$ 四点共圆；
（2）记 $O$ 为坐标原点，$\triangle A B C, \triangle B C D, \triangle C A D, \triangle D A B$ 的面积分别为 $S_1, S_2, S_3, S_4$ ，
证明：$O A^2 \cdot S_2+O C^2 \cdot S_4=O B^2 \cdot S_3+O D^2 \cdot S_1$ ．
（1）是常见结论
想问（2）

kuing

第（2）问其实已经和椭圆没什么关系了，我猜想有更一般命题：

任意圆内接四边形 `ABCD` 及平面上任意点 `P`，恒有
\[PA^2\cdot\S{BCD}+PC^2\cdot\S{ABD}=PB^2\cdot\S{ACD}+PD^2\cdot\S{ABB}\]

几何画板验证：

kuing

咳，突然发现，这不就是四点共圆的坐标行列式判定么……

不妨建系使 `P` 为原点，设 `ABCD` 四点的坐标为 `(x_i,y_i)`（`i=1`, `2`, `3`, `4`），则由四点共圆有
\begin{align*}
&
\begin{vmatrix}
x_1^2+y_1^2 & x_1 & y_1 & 1 \\
x_2^2+y_2^2 & x_2 & y_2 & 1 \\
x_3^2+y_3^2 & x_3 & y_3 & 1 \\
x_4^2+y_4^2 & x_4 & y_4 & 1
\end{vmatrix}
=0\\
\iff{}&
\begin{vmatrix}
PA^2 & x_1 & y_1 & 1 \\
PB^2 & x_2 & y_2 & 1 \\
PC^2 & x_3 & y_3 & 1 \\
PD^2 & x_4 & y_4 & 1
\end{vmatrix}
=0\\
\iff{}&
PA^2
\begin{vmatrix}
x_2 & y_2 & 1 \\
x_3 & y_3 & 1 \\
x_4 & y_4 & 1
\end{vmatrix}
-PB^2
\begin{vmatrix}
x_1 & y_1 & 1 \\
x_3 & y_3 & 1 \\
x_4 & y_4 & 1
\end{vmatrix}
+PC^2
\begin{vmatrix}
x_1 & y_1 & 1 \\
x_2 & y_2 & 1 \\
x_4 & y_4 & 1
\end{vmatrix}
-PD^2
\begin{vmatrix}
x_1 & y_1 & 1 \\
x_2 & y_2 & 1 \\
x_3 & y_3 & 1
\end{vmatrix}
=0,
\end{align*}
对于上式的四个行列式，它们的绝对值都为相应三角形面积的两倍，至于正负，由于下标顺序 `(2,3,4)`, `(1,3,4)`, `(1,2,4)`, `(1,2,3)` 对应的点的时针方向必定是相同的，因此它们同为正或同为负，两种情况都得到
\[PA^2\cdot\S{BCD}-PB^2\cdot\S{ACD}+PC^2\cdot\S{ABD}-PD^2\cdot\S{ABC}=0.\]

hbghlyj

推广：五点A,B,C,D,E共球，PA*Volume(Pyramid(BCDE))-PB*Volume(Pyramid(CDEA))+PC*Volume(Pyramid(DEAB))-PD*Volume(Pyramid(EABC))+PE*Volume(Pyramid(ABCD))=0

kuing

回楼上：意料之中