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kuing
发表于 2023-11-1 15:53
本帖最后由 kuing 于 2023-11-5 21:55 编辑 咳，突然发现，这不就是四点共圆的坐标行列式判定么……
不妨建系使 `P` 为原点，设 `ABCD` 四点的坐标为 `(x_i,y_i)`（`i=1`, `2`, `3`, `4`），则由四点共圆有
\begin{align*}
&
\begin{vmatrix}
x_1^2+y_1^2 & x_1 & y_1 & 1 \\
x_2^2+y_2^2 & x_2 & y_2 & 1 \\
x_3^2+y_3^2 & x_3 & y_3 & 1 \\
x_4^2+y_4^2 & x_4 & y_4 & 1
\end{vmatrix}
=0\\
\iff{}&
\begin{vmatrix}
PA^2 & x_1 & y_1 & 1 \\
PB^2 & x_2 & y_2 & 1 \\
PC^2 & x_3 & y_3 & 1 \\
PD^2 & x_4 & y_4 & 1
\end{vmatrix}
=0\\
\iff{}&
PA^2
\begin{vmatrix}
x_2 & y_2 & 1 \\
x_3 & y_3 & 1 \\
x_4 & y_4 & 1
\end{vmatrix}
-PB^2
\begin{vmatrix}
x_1 & y_1 & 1 \\
x_3 & y_3 & 1 \\
x_4 & y_4 & 1
\end{vmatrix}
+PC^2
\begin{vmatrix}
x_1 & y_1 & 1 \\
x_2 & y_2 & 1 \\
x_4 & y_4 & 1
\end{vmatrix}
-PD^2
\begin{vmatrix}
x_1 & y_1 & 1 \\
x_2 & y_2 & 1 \\
x_3 & y_3 & 1
\end{vmatrix}
=0,
\end{align*}
对于上式的四个行列式，它们的绝对值都为相应三角形面积的两倍，至于正负，由于下标顺序 `(2,3,4)`, `(1,3,4)`, `(1,2,4)`, `(1,2,3)` 对应的点的时针方向必定是相同的，因此它们同为正或同为负，两种情况都得到
\[PA^2\cdot\S{BCD}-PB^2\cdot\S{ACD}+PC^2\cdot\S{ABD}-PD^2\cdot\S{ABC}=0.\]
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lemondian
发表于 2023-11-1 16:25
