四面体各面有向面积之和为0

hbghlyj

考虑具有面 $F_1、F_2、F_3、F_4$ 的四面体。
向量 $V_1,V_2,V_3,V_4$ 大小分别等于$F_1,F_2,F_3,F_4$的面积，其方向垂直于这些面向外的面。证明 $V_1+V_2+V_3+V_4=0$

证明
与四面体的每个面关联的向量是$$\mathbf{V}_{1}=\frac{1}{2} \mathbf{A} \times \mathbf{B}, \quad \mathbf{V}_{2}=\frac{1}{2} \mathbf{B} \times \mathbf{C}, \quad \mathbf{V}_{3}=\frac{1}{2} \mathbf{C} \times \mathbf{A}, \quad \mathbf{V}_{4}=\frac{1}{2}(\mathbf{C}-\mathbf{A}) \times(\mathbf{B}-\mathbf{A})$$则\begin{aligned} \mathbf{V}_{1}+\mathbf{V}_{2}+\mathbf{V}_{3}+\mathbf{V}_{4} & =\frac{1}{2}[\mathbf{A} \times \mathbf{B}+\mathbf{B} \times \mathbf{C}+\mathbf{C} \times \mathbf{A}+(\mathbf{C}-\mathbf{A}) \times(\mathbf{B}-\mathbf{A})] \\ & =\frac{1}{2}[\mathbf{A} \times \mathbf{B}+\mathbf{B} \times \mathbf{C}+\mathbf{C} \times \mathbf{A}+\mathbf{C} \times \mathbf{B}-\mathbf{C} \times \mathbf{A}-\mathbf{A} \times \mathbf{B}+\mathbf{A} \times \mathbf{A}]=0\end{aligned}

hbghlyj

多面体各面有向面积之和为0 吗？

业余的业余

或者有一个办法把任意多面体切割为四面体之和，这样显然结论成立。

对任意封闭曲面 $S$, 记其以你的方法定义的向量和为 $\vec{D}$. 我们说 $\vec{D}=\vec{0}$.

考虑(电场的)高斯定律，有\[
\text{flux} = \int_{\text{任意封闭曲面}S}\vec{E}\cdot \hat{n} \mathrm{d} A
\]

对放在匀强电场 $\hat{i}$ 中的该曲面，有$$\begin{align*}
    0 &= \int_{\text{任意封闭曲面}S}\hat{i}\cdot \hat{n} \mathrm{d} A\\
      &=\hat{i}\cdot \int_{\text{任意封闭曲面}S}\hat{n} \mathrm{d} A\\
      &=\vec{D}\cdot \hat{i}
\end{align*}$$

类似地，有$\vec{D}\cdot \hat{j}=\vec{D}\cdot \hat{k}=0$, 故 $\vec{D}=\vec{0}$.

hbghlyj

hbghlyj 发表于 2023-11-2 12:30
多面体各面有向面积之和为0 吗？

Blaschke Addition and Convex Polyhedra