三角形有关的面积恒等式

lemondian

如图，$P$是$\triangle A_1A_2A_3$所在平面内任意一点，它在$\triangle A_1A_2A_3$三边所在直线上的正投影分别为$P_1,P_2,P_3$。记$\triangle A_1A_2A_3$外心为$O$，外接圆半径为$R$，$|A_iA_j|=a_{ij}(i,j\in{1,2,3})$。求证下面等式恒成立：（注：题中的面积均为有向面积。）


$a^2_{12}S_{\triangle PA_2A_3}S_{\triangle PA_3A_1}+a^2_{23}S_{\triangle PA_1A_2}S_{\triangle PA_3A_1}+a^2_{31}S_{\triangle PA_1A_2}S_{\triangle PA_2A_3}=4R^2S_{\triangle A_1A_2A_3}S_{\triangle P_1P_2P_3}$

kuing

需要指出：题目来源《中等数学教学》解题擂台(144)，命题者吴波
如果证了出来建议先投稿再回帖，投稿邮箱 guoyaohong1108@163.com。

lemondian

kuing 发表于 2022-12-16 15:17
需要指出：题目来源《中等数学教学》解题擂台(144)，命题者吴波
如果证了出来建议先投稿再回帖，投稿邮箱  ...

对的，我今天看到的，觉得蛮有意思，发上来找高手解答，然后学习之

kuing

lemondian 发表于 2022-12-16 15:22
对的，我今天看到的，觉得蛮有意思，发上来找高手解答，然后学习之 ...

那你既然知道是擂台题，应该在发帖时就注明清楚来源。

郝酒

试着解了一下，请大家指正：
采用分析法：

因为$\frac{a_{i j}}{2 R} ={\sin A}_k$，($i, j, k$互不相同)

故只需证：sum$((\sin A_k)^2 S_{\triangle P A_i A_k} S_{\triangle P A_j
A_k}) = S_{\triangle A_1 A_2 A_3} S_{\triangle P_1 P_2 P_3}$，

而$S_{\triangle P A_i A_k} = \frac{1}{2} A_i A_k \cdot P P_j$，所以$(\sin
A_k)^2 S_{\triangle P A_i A_k} S_{\triangle P A_j A_k} = \frac{1}{4}(\sin
A_k)^2 A_i A_k \cdot P P_j \cdot A_j A_k \cdot P P_i = S_{\triangle A_1A_2
A_3} \cdot \frac{1}{2} P P_j \cdot P P_i \cdot \sin A_k = S_{\triangle A_1A_2
A_3} \cdot \frac{1}{2} P P_j \cdot P P_i \cdot \sin \angle P_i P P_j
=S_{\triangle A_1 A_2 A_3} \cdot S_{\triangle P  P_i
P_j}$（最后一个等式用四点共圆可得）

而$\sum S_{\triangle P  P_i P_j} = S_{{\triangle P_1}  P_2
P_3}$，所以得证.

色k

郝酒 发表于 2022-12-16 21:20
试着解了一下，请大家指正：
采用分析法：

赶紧投稿

郝酒

色k 发表于 2022-12-16 21:53
赶紧投稿

这个一般都搞不赢的，有几个人常常是题一出来他们就解完了。所以就是提及一下：某某某也解出来了。

lemondian

kuing 发表于 2022-12-16 17:49
那你既然知道是擂台题，应该在发帖时就注明清楚来源。

我原想截图过来，但一想kuing说，尽量不要截图，然后我重输了题目，然后能省则省，就省了题目的来源了

lemondian

郝酒 发表于 2022-12-16 21:20
试着解了一下，请大家指正：
采用分析法：

（最后一个等式用四点共圆可得）
这句是指哪个？麻烦您详细一点吧，谢谢！

郝酒

角Ak和角PiPPj互补

信步千山

这个证明是P在三角形内的情形，不完整。擂题中P是任意的。

郝酒

郝酒 发表于 2022-12-16 21:59
这个一般都搞不赢的，有几个人常常是题一出来他们就解完了。所以就是提及一下：某某某也解出来了。 ...

回复力工：倒不是串通好，单纯是那些人解题快

回复信步千山：证明的时候考虑过这个问题，感觉，用有向角应该可以统一去写，要不情况有些多。

信步千山

看你的证明过程，我倒觉得不是考虑有向角，而是用有向距离。