一道直线过定点的椭圆题

郝酒

已知点P是椭圆$\frac{x^2}{5}+\frac{y^2}{4}=1$上任意点，圆$M:x^2+y^2=1$，点$A(0,1),B(0,\frac{1}{2})$，直线PA交椭圆与C点，直线PB交圆于D点（D不在B、P之间），求证：直线CD过定点.

色k

今天中午才有人问过一样的：kuing.cjhb.site/forum.php?mod=viewthread&tid=10473

郝酒

色k 发表于 2023-3-17 20:24
今天中午才有人问过一样的：https://kuing.cjhb.site/forum.php?mod=viewthread&tid=10473 ...

我是在知乎上看到，设点做了一下，感觉计算中有一些精巧的中间结果，但是只算到C，D坐标就不敢往下算了。想知道这道题能算下去的方法，和它的背景。

Czhang271828

郝酒 发表于 2023-3-17 20:27
我是在知乎上看到，设点做了一下，感觉计算中有一些精巧的中间结果，但是只算到C，D坐标就不敢往下算了。 ...

这种题目估计都是先射箭后画靶再移墙的. 用的基本是 Pascal 定理那类"几点决定几次曲线"的定理. 具体如何不大清楚, 应该有一些成熟的解答体系.

此处延长射线 $CB$ 交圆于 $F$, 直线 $PF$ 交 $CD$ 于 $E$, 作直线 $\color{red}{DF}$ 交直线 $AB$ 于 $G$ (笔误已更正). 我们可以证明 $A, B, G, E$ 都是 $y$ 轴上的定点. 何也? 出题者大抵先给出圆, 定点 $A,B,G,E$, 自由地做出圆上经过 $G$ 的弦 $DF$. 可以通过研究"变量数量"以证明 $ED$ 与 $FB$ 的交点轨迹是二次曲线, 根据对称性知 $DB$ 与 $EF$ 的轨迹是同一条二次曲线.

射箭就是给出定点 $A,B,G,E$, 圆, 弦 $DF$. 画靶就是目测出 $P$ 与 $C$ 的轨迹是二次曲线. 移墙就是仿射变换/调数据使得结果好看一点.

我们解答问题也可以流氓一点, 先不妨取 $y$ 轴上的点 $G,E$ (通过特殊值算出来), 构造交点并用"自变量数量法"证明 $P,C$ 的轨迹在圆锥曲线上, 结合对称性与几个特殊点看出是椭圆, 并且刚好吻合题目条件.

郝酒

谢谢啦，先射箭后画靶再移墙真形象😊

lxz2336831534

👍

kuing

在 4# 的启发下写出以下暴算证明：

如图，延长 `CB` 交圆于 `F`，直线 `CD` 与 `PF` 交于 `E`，`DF` 与 `AB` 交于 `G`，线段 `BP`, `BC` 交圆于 `H`, `I`。
设直线方程
\begin{align*}
PC&\colon y=kx+1,\\
PD&\colon y=m_1x+\frac12,\\
CF&\colon y=m_2x+\frac12,
\end{align*}
联立 `PC`, `PD` 解得
\[P\left(\frac1{2(m_1-k)},\frac{2m_1-k}{2(m_1-k)}\right),\]
同理
\[C\left(\frac1{2(m_2-k)},\frac{2m_2-k}{2(m_2-k)}\right),\]
它们在椭圆上，代入椭圆方程中化简可得 `m_1`, `m_2` 为以下关于 `m` 的方程的两根
\[m^2-\frac{7k}3m+\frac{75k^2-4}{60}=0,\]
由韦达得
\begin{align*}
m_1+m_2&=\frac{7k}3,\\
m_1m_2&=\frac{75k^2-4}{60},
\end{align*}
过 `D`, `F`, `H`, `I` 四点的二次曲线系为
\[x^2+y^2-1+\lambda\left(m_1x+\frac12-y\right)\left(m_2x+\frac12-y\right)=0,\]
展开代入上面的韦达
\begin{gather*}
x^2+y^2-1+\lambda\left(m_1m_2x^2+(m_1+m_2)x\left(\frac12-y\right)+\left(\frac12-y\right)^2\right)=0,\\
x^2+y^2-1+\lambda\left(\frac{75k^2-4}{60}x^2+\frac{7k}3x\left(\frac12-y\right)+\left(\frac12-y\right)^2\right)=0,
\end{gather*}
取 `\lambda=15` 时上式可因式分解为
\[16\left(\frac14+\frac{5k}4x-y\right)\left(\frac{11}{16}+\frac{15k}{16}x-y\right)=0,\]
那么上式两括号内的两直线方程就是四边形 `DFHI` 的某对对边。
通过取特殊位置（如 `PC\px x` 轴时）可判断出它们分别是 `DF` 和 `HI`（不知这样是否严谨），也就是
\begin{align*}
DF&\colon y=\frac14+\frac{5k}4x,\\
HI&\colon y=\frac{11}{16}+\frac{15k}{16}x,
\end{align*}
联立 `DF`, `PD` 解得
\[D\left(\frac1{5k-4m_1},\frac{5k-2m_1}{2(5k-4m_1)}\right),\]
同理
\[F\left(\frac1{5k-4m_2},\frac{5k-2m_2}{2(5k-4m_2)}\right),\]
这样 `CD` 和 `PF` 的方程都可以写出来然后联立求交点 `E`，具体就不写了，交给电脑（其实一直都是），最终算出来是
\[E\left(\frac{2(7k-3m_1-3m_2)}{21k^2-16km_1-16km_2+12m_1m_2},\frac{3k(7k-3m_1-3m_2)}{21k^2-16km_1-16km_2+12m_1m_2}-\frac12\right),\]
而 `m_1+m_2=7k/3` 所以就是 `E(0,-1/2)`，即直线 `CD` 过定点 `E(0,-1/2)`。

kuing

若连结 `PI` 与 `CH` 交于 `K`，用同样的方法可以求出 `K` 的轨迹方程。
也是那样联立再联立求交点，此时算出的式子就复杂一点儿：
\[K\left(-\frac{6(9k-5m_1-5m_2)}{189k^2-204k(m_1+m_2)+220m_1m_2},\frac12\cdot\frac{189k^2-258k(m_1+m_2)+340m_1m_2}{189k^2-204k(m_1+m_2)+220m_1m_2}\right),\]
代韦达化简为
\[K\left(-\frac{12k}{11+9k^2},\frac{17-9k^2}{2(11+9k^2)}\right),\]
消 `k` 得点 `K` 的轨迹方程为
\[49x^2+44y^2-12y-17=0.\]
动图验证：

TSC999

这个题用复平面上的解析几何做是非常简单的。构图和设点方法为：设圆 O 为单位圆，圆心在坐标系原点。
H 点的坐标设为变量，令 H 点的坐标为 \(h=u+i v\)，由于 H 在单位圆上，故 H 点的共轭坐标为 \(\overline{h}=1/h\) 。由此可求出\(BH\)线与圆O及椭圆的交点\(D\)、\(P\)的坐标。然后再算出\(PA\) 线与椭圆的交点 \(C\) 的坐标。继续算出\(CB\) 线与圆O的交点 \(F\) 的坐标。最后算出\(CD\) 与\(PF\) 线的交点\(E\)以及\(DF\) 线与\(OB\) 线的交点\(G\) 的坐标。
结果是 \(E\) 点坐标和 \(G\) 点坐标都是常数，都与 \(H\) 点的坐标无关。
在程序中点的名称都用大写字母表示，点的复数坐标都用小写字母表示。小写字母上加一横线表示其共轭复数。在这个计算体系中，点的坐标算出后，往往需要同时算出它的共轭复数。

用 mathematica 写的程序：

程序运行结果：

程序代码：

1. Clear["Global`*"];
2. \!\(\*OverscriptBox[\(o\), \(_\)]\) = o = 0; a = I; \!\(\*OverscriptBox[\(a\), \(_\)]\) = -I; b = I/2;
3. \!\(\*OverscriptBox[\(b\), \(_\)]\) = -I/2; h = u + I v; \!\(\*OverscriptBox[\(h\), \(_\)]\) = 1/h;
4. W1 = {d, \!\(\*OverscriptBox[\(d\), \(_\)]\)} /. Simplify@Solve[{(d - 0) (\!\(\*OverscriptBox[\(d\), \(_\)]\) - 0) == 1, (h - b)/(\!\(\*OverscriptBox[\(h\), \(_\)]\) - \!\(\*OverscriptBox[\(b\), \(_\)]\)) == (d - b)/(\!\(\*OverscriptBox[\(d\), \(_\)]\) - \!\(\*OverscriptBox[\(b\), \(_\)]\)), d != h}, {d, \!\(\*OverscriptBox[\(d\), \(_\)]\)}] // Flatten;d = Part[W1, 1];
5. \!\(\*OverscriptBox[\(d\), \(_\)]\) = Part[W1, 2]; Print["D = ", d];
6. W2 = {p, \!\(\*OverscriptBox[\(p\), \(_\)]\)} /. Simplify@Solve[{(p + \!\(\*OverscriptBox[\(p\), \(_\)]\))^2/20 - (p - \!\(\*OverscriptBox[\(p\), \(_\)]\))^2/16  == 1, (h - b)/(\!\(\*OverscriptBox[\(h\), \(_\)]\) - \!\(\*OverscriptBox[\(b\), \(_\)]\)) == (h - p)/(\!\(\*OverscriptBox[\(h\), \(_\)]\) - \!\(\*OverscriptBox[\(p\), \(_\)]\))}, {p, \!\(\*OverscriptBox[\(p\), \(_\)]\)}] // Flatten;
7. p = Part[W2, 1]; \!\(\*OverscriptBox[\(p\), \(_\)]\) = Part[W2, 2]; Print["P = ", p];
8. W3 = {c, \!\(\*OverscriptBox[\(c\), \(_\)]\)} /. Simplify@Solve[{(c + \!\(\*OverscriptBox[\(c\), \(_\)]\))^2/20 - (c -
9. \!\(\*OverscriptBox[\(c\), \(_\)]\))^2/16  == 1, (a - c)/(\!\(\*OverscriptBox[\(a\), \(_\)]\) - \!\(\*OverscriptBox[\(c\), \(_\)]\)) == (a - p)/(\!\(\*OverscriptBox[\(a\), \(_\)]\) - \!\(\*OverscriptBox[\(p\), \(_\)]\)), c != p}, {c, \!\(\*OverscriptBox[\(c\), \(_\)]\)}] // Flatten;
10. c = Part[W3, 1]; \!\(\*OverscriptBox[\(c\), \(_\)]\) = Part[W3, 2]; Print["C = ", c];
11. W4 = {f, \!\(\*OverscriptBox[\(f\), \(_\)]\)} /. Simplify@Solve[{(f - 0) (\!\(\*OverscriptBox[\(f\), \(_\)]\) - 0) == 1, (f - b)/(\!\(\*OverscriptBox[\(f\), \(_\)]\) - \!\(\*OverscriptBox[\(b\), \(_\)]\)) == (c - b)/(\!\(\*OverscriptBox[\(c\), \(_\)]\) - \!\(\*OverscriptBox[\(b\), \(_\)]\))}, {f, \!\(\*OverscriptBox[\(f\), \(_\)]\)}] // Flatten;
12. f = Part[W4, 3]; \!\(\*OverscriptBox[\(f\), \(_\)]\) = Part[W4, 4]; Print["F = ", f];
13. W5 = {e, \!\(\*OverscriptBox[\(e\), \(_\)]\)} /. Simplify@Solve[{(c - d)/(\!\(\*OverscriptBox[\(c\), \(_\)]\) - \!\(\*OverscriptBox[\(d\), \(_\)]\)) == (d - e)/(\!\(\*OverscriptBox[\(d\), \(_\)]\) - \!\(\*OverscriptBox[\(e\), \(_\)]\)), (p - f)/(\!\(\*OverscriptBox[\(p\), \(_\)]\) - \!\(\*OverscriptBox[\(f\), \(_\)]\)) == (f - e)/(\!\(\*OverscriptBox[\(f\), \(_\)]\) - \!\(\*OverscriptBox[\(e\), \(_\)]\))}, {e,
14. \!\(\*OverscriptBox[\(e\), \(_\)]\)}] // Flatten;
15. e = Part[W5, 1]; \!\(\*OverscriptBox[\(e\), \(_\)]\) = Part[W5, 2]; Print["E = ", e];
16. W6 = {g, \!\(\*OverscriptBox[\(g\), \(_\)]\)} /. Simplify@Solve[{(f - d)/(\!\(\*OverscriptBox[\(f\), \(_\)]\) - \!\(\*OverscriptBox[\(d\), \(_\)]\)) == (d - g)/(\!\(\*OverscriptBox[\(d\), \(_\)]\) - \!\(\*OverscriptBox[\(g\), \(_\)]\)), (o - b)/(\!\(\*OverscriptBox[\(o\), \(_\)]\) - \!\(\*OverscriptBox[\(b\), \(_\)]\)) == (o - g)/(\!\(\*OverscriptBox[\(o\), \(_\)]\) - \!\(\*OverscriptBox[\(g\), \(_\)]\))}, {g, \!\(\*OverscriptBox[\(g\), \(_\)]\)}] // Flatten;
17. g = Part[W6, 1]; \!\(\*OverscriptBox[\(g\), \(_\)]\) = Part[W6, 2]; Print["G = ", g];

复制代码

lxz2336831534

这题有射影背景，等星期日我给个比较简单的曲线系证明方法

lxz2336831534

我在知乎上也提了这个问题，这是我用曲线系的做法