圆锥曲线中，直线过定点问题

lemondian

求助：
已知直线$l:y=kx+t$与圆锥曲线$C:Ax^2+By^2=1$相交于$P,Q$两点，点$T(x_0,y_0)$不在曲线$C$上，直线$TP,TQ$分别与$C$交于点$M,N$（异于$P,Q$），则直线$MN$过定点$(u,v)$，请求出$u,v$的值。

原题：已知直线$l:y=kx+t$与椭圆$C:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$相交于$P,Q$两点，点$A(x_0,y_0)$不在曲线$C$上，直线$AP,AQ$分别与$C$交于点$M,N$（异于$P,Q$），则直线$MN$过定点$(u,v)$，请求出$u,v$的值。

kuing

结论显然不成立

若有原题，请拿出原题。

lemondian

kuing 发表于 2023-12-18 17:02
结论显然不成立

若有原题，请拿出原题。

已更新

爪机专用

到底哪个是动的，哪个是定的？

lemondian

爪机专用 发表于 2023-12-18 20:22
到底哪个是动的，哪个是定的？

我猜原题是意思是：$t$是动的，其它的是不动的（不变的）

kuing

lemondian 发表于 2023-12-18 20:26
我猜原题是意思是：$t$是动的，其它的是不动的（不变的）

所以你贴的原题仍然不是原题吧，要是只有 t 动，那原题肯定会说明 l 的斜率恒定

lemondian

kuing 发表于 2023-12-18 21:58
所以你贴的原题仍然不是原题吧，要是只有 t 动，那原题肯定会说明 l 的斜率恒定 ...

原题就如此，我也觉得它没说清。
如果斜率恒定时，定点如何求得？

kuing

lemondian 发表于 2023-12-19 08:00
原题就如此，我也觉得它没说清。
如果斜率恒定时，定点如何求得？

极点极线易得。

如下图，粗线是 T 的极线，虚线与 PQ 平行。



则 F、N、T、Q 调和，进而直线 DF、DN、DT、DQ 与虚线的交点 E、G、T、`\infty`（无穷远点）调和，所以 G 为 ET 中点。

若 PQ 的斜率恒定，则虚线是定直线，而极线也是定直线，所以 E 为定点，所以 G 也是定点，即得结论。

lemondian

kuing 发表于 2023-12-19 15:21
极点极线易得。

如下图，粗线是 T 的极线，虚线与 PQ 平行。

又玩极点极线，，显示双曲线也应该有这个结论。
我是想看能不能有统一（曲线为$Ax^2+By^2=1$时），简便的方法求出这个定点的坐标 。

hejoseph

二次曲线为 $Ax^2+By^2=1$，定点为 $(x_0,y_0)$，斜率固定为 $k$，则所求顶点为
\[
\left(\frac{Ax_0^2+2Bkx_0y_0-By_0^2+1}{2(Ax_0+Bky_0)},\frac{-Akx_0^2+2Bx_0y_0+Bky_0^2+k}{2(Ax_0+Bky_0)}\right)
\]

lemondian

hejoseph 发表于 2023-12-20 09:57
二次曲线为 $Ax^2+By^2=1$，定点为 $(x_0,y_0)$，斜率固定为 $k$，则所求顶点为
\[
\left(\frac{Ax_0^2+2Bk ...

谢谢，有过程么？请提供一下

hejoseph

lemondian 发表于 2023-12-20 10:27
谢谢，有过程么？请提供一下

直接用8楼的结果就行了啊，$T$ 的极线方程可以直接写出，$ET$ 的方程也可以直接写出，求两直线交点就得 $E$，然后求 $ET$ 的中点的就得结论了。
从计算结果来看，当 $Ax_0+Bky_0=0$ 时定点是不存在的，或者说定点在无穷远处，此时的直线是平行的。

lemondian

hejoseph 发表于 2023-12-20 10:33
直接用8楼的结果就行了啊，$T$ 的极线方程可以直接写出，$ET$ 的方程也可以直接写出，求两直线交点就得 $ ...

我的意思是，不用极点极线的相关知识，有没有只用高中解析几何的知识的简单解法？

hejoseph

你都没说要用高中方法，估计没有简单的方法，可以用下面的方法。
二次曲线 $\Gamma:Ax^2+By^2=1$ 上一点为 $P(x_0,y_0)$，过点 $P$ 的直线 $l$ 斜率为 $k$，则 $\Gamma$ 与 $l$ 与的另一交点为
\[
\left(-\frac{(A-Bk^2)x_0+2Bky_0}{A+Bk^2},-\frac{2Akx_0-(A-Bk^2)y_0}{A+Bk^2}\right)
\]
这个推导很简单，因为 $Ax^2+B(k(x-x_0)+y_0)^2-(Ax_0^2+By_0^2)=0$ 左边进行因式分解（不知道因式也没关系，因为肯定有因式 $x-x_0$，做多项式除法就得）可求得另一点的 $x$ 坐标，进而就能得到 $y$ 坐标。
以8楼的图为准，利用上面的结论，设点 $P$ 的坐标为 $(u,v)$，可以直接写出点 $Q$ 的坐标，求出 $TP$、$TQ$ 的斜率（这很容易）就能直接写出点 $M$、$N$ 的坐标了，然后就能求出 $MN$ 的参数方程，这个参数方程以 $u$、$v$ 为变量。$MN$ 的参数方程将 $u$、$v$ 的三次项因式分解，再根据 $Au^2+Bv^2=1$ 可得到一个 $u$、$v$ 的一次式；将  $u$、$v$ 的二次项因式分解，再根据 $Au^2+Bv^2=1$ 可得到一个与 $u$、$v$ 无关的式子；经过上述整理后，整个$MN$ 的参数方程能整理成关于  $u$、$v$ 的一次式，由 $u$、$v$、常数项都等于 $0$ 就可以求得定点的坐标。
这个方法的推理很简单，但是运算是很繁琐的。