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题目：椭圆 `C`: `x^2/8+y^2/2=1`，点 `A(-2,-1)`，直线 `l` 与椭圆 `C` 交于不同的两点 `M`, `N`，直线 `AM`, `AN` 分别与直线 `x=-4` 交于点 `P`, `Q` 且 `\abs{OP}=\abs{OQ}`，求证：直线 `l` 过定点，并求出定点坐标。
（和以前这帖差不多：kuing.cjhb.site/forum.php?mod=viewthread&tid=7306）
我写了个代数解法（于 6-29）：
为计算方便，平移坐标系使 `A` 为原点，由 `\abs{OP}=\abs{OQ}` 可设 `P(-2,1+m)`, `Q(-2,1-m)`，那么
\[AP\colon y=\frac{1+m}{-2}x,\,AQ\colon y=\frac{1-m}{-2}x,\]
记 `M(x_1,y_1)`, `N(x_2,y_2)`，椭圆方程平移后变成 `(x-2)^2+4(y-1)^2=8`，将直线 `AP` 代入得
\[(x-2)^2+\bigl(2+(1+m)x\bigr)^2=8,\]
解得
\[x=0~\text{及}~x=-\frac{4m}{1+(1+m)^2},\]
所以
\begin{align*}
x_1&=-\frac{4m}{1+(1+m)^2},\\
y_1&=\frac{1+m}{-2}x_1=\frac{2m(1+m)}{1+(1+m)^2},
\end{align*}
这是 `M` 的坐标，将 `m` 变成 `-m` 便是 `N` 的坐标。
如果直线 `MN` 过定点，则存在 `(s,t)` 使得
\[\frac{y_1-t}{x_1-s}=\frac{y_2-t}{x_2-s}\quad(*)\]
对任意 `m` 恒成立，化简上式左边有
\begin{align*}
\frac{y_1-t}{x_1-s}&=-\frac{2m(1+m)-t\bigl(1+(1+m)^2\bigr)}{4m+s\bigl(1+(1+m)^2\bigr)}\\
&=-\frac{(\cdots)m^2+(2-2t)m+(\cdots)}{(\cdots)m^2+(4+2s)m+(\cdots)},
\end{align*}
那么当 `(2-2t)=(4+2s)=0` 时上式与 `m` 的正负无关，所以当 `(s,t)=(-2,1)` 时式 (*) 必定恒成立，这就说明了 `MN` 过定点 `(-2,1)`，平移回去，过的定点便是 `(-4,0)`。 |
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