多直线的斜率乘积为定值

lemondian

椭圆 $E_1: \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ 的短轴长为 2，焦距为 $2 \sqrt{3}$，右顶点为点 $P$。
（1）求椭圆 $E_1$ 的标准方程。
（2）过 $x$ 轴上的定点 $M\left(\frac{1}{2}, 0\right), N\left(\frac{3}{2}, 0\right)$ 的圆锥曲线 $E_2$ 与 $E_1$ 交于不与 $P$ 点重合的四点 $A, B, C, D$ ，证明：$k_{A P} k_{B P} k_{C P} k_{D P}$ 为定值，并求出该定值。

这题如何解决？能不能用齐次化法解答？（直线多，搞不过来哟）

kuing

四个斜率之积，马上想起这题：kuing.cjhb.site/forum.php?mod=viewthread&tid=9563
不知有没有关，晚上再瞧瞧，煮饭时间😋

kuing

与楼上链接应该无关，证明也不难。

按焦点在 `x` 轴做，那就有 `E_1`: `x^2+4y^2=4`, `P(2,0)`。

将坐标系向右平移两个单位，使 `P` 为原点，两定点变成 `M(-3/2,0)`, `N(-1/2,0)`，椭圆方程变成 `(x+2)^2+4y^2=4`，即
\[x^2+4x+4y^2=0,\]
易知过 `M`, `N` 的二次曲线可设为
\[(2x+3)(2x+1)+y(mx+ny+p)=0,\]
联立以上两式，并令 `y=kx`，即
\[\led
x(x+4+4k^2x)&=0,\\
(2x+3)(2x+1)+kx(mx+nkx+p)&=0,
\endled\]
由于交点不与 `P` 重合，则 `x\ne0`，所以由第一条方程得 `x=-4/(1+4k^2)`，代入第二条方程中展开整理即得
\[48k^4-16pk^3+8(2n-13)k^2+4(4m-p)k+35=0,\]
此方程的四个解便是 `P` 与 `A`, `B`, `C`, `D` 连线的斜率，由韦达即得
\[k_1k_2k_3k_4=\frac{35}{48}.\]

kuing

焦点在 `y` 轴上，竟然也能做！题还真没打错，确实没想到。

此时 `E_1`: `4x^2+y^2=4`, `P(1,0)`，将坐标系向右平移一个单位，使 `P` 为原点，两定点变成 `M(-1/2,0)`, `N(1/2,0)`，椭圆方程变成 `4(x+1)^2+y^2=4`，即
\[4x^2+8x+y^2=0,\]
易知过 `M`, `N` 的二次曲线可设为
\[4x^2-1+y(mx+ny+p)=0,\]
联立以上两式，并令 `y=kx`，即
\[\led
x(4x+8+k^2x)&=0,\\
4x^2-1+kx(mx+nkx+p)&=0,
\endled\]
由于交点不与 `P` 重合，则 `x\ne0`，所以由第一条方程得 `x=-8/(4+k^2)`，代入第二条方程中展开整理即得
\[k^4+8pk^3-8(8n-1)k^2-32(2m-p)k-240=0,\]
此方程的四个解便是 `P` 与 `A`, `B`, `C`, `D` 连线的斜率，由韦达即得
\[k_1k_2k_3k_4=-240.\]

综上：若焦点在 `x` 轴上，定值为 `35/48`，若焦点在 `y` 轴上，定值为 `-240`。

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笛沙格对合定理

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设 $E_2$ 和 $E_1$ 有四个交点，根据笛沙格对合定理，这四个点所确立的二次曲线束被 $P Q$ 所截得点列属于同一对合。由 $Q(-2,0) \rightarrow P(2,0) \quad M\left(\frac{1}{2}, 0\right) \rightarrow N\left(\frac{3}{2}, 0\right)$可知该对合变换为 $f(x)=\frac{19 x-32}{8 x-19}$由两弦斜率之积 $k_1 k_2$ 和点 $P\left(x_P, y_P\right)$ 所对张弦定点 $(x_0,y_0)$ 的关系：
\[\tag{*}\label1
a^2\left(\frac{y_0 y_P}{b^2}-\frac{x_0 x_P}{a^2}+1\right) k_1 k_2+\left(y_P x_0+x_P y_0\right)\left(k_1+k_2\right)+b^2\left(\frac{x_0 y_P}{a^2}-\frac{y_0 y_P}{b^2}+1\right)=0
\]
对比并代入本题数据得 $k_1 k_2=\frac{1}{4}+\frac{1}{x_0-2}$．
则
\[
\begin{aligned}
k_1 k_2 k_3 k_4 & =\left(\frac{1}{4}+\frac{1}{x_0-2}\right)\left(\frac{1}{4}+\frac{1}{f\left(x_0\right)-2}\right) \\
& =\left(\frac{1}{4}+\frac{1}{x_0-2}\right)\left(\frac{1}{4}+\frac{1}{\frac{19 x_0-32}{8 x_0-19}-2}\right)=\frac{35}{48}
\end{aligned}
\]注：$E_2$ 由 $A, B, C, D, M, N$ 6点确定
若固定 $A B C D$ 中任两点，另外两点所连直线由笛沙格对合定理可知过定点 $f\left(x_0\right)$，
若不固定则点$\left(x_0, 0\right),\left(f\left(x_0\right), 0\right)$仍满足\eqref{1}式斜率关系。