一道有意思的解析几何试题

aishuxue

已知 $A(0,3), B, C$ 为 $x^2+y^2=3^2$ 上三点．
（2）若直线 $B C$ 过点 $(0,2)$，求 $\triangle ABC$ 面积的最大值；
（3）若 $D$ 为曲线 $x^2+(y+1)^2=4\,(y \neq-3)$ 上的动点，且 $\overrightarrow{A D}=\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{A C}$，试问直线 $A B$ 和直线 $A C$ 的斜率之积是否为定值？

aishuxue

第三问不知道该题有几何背景吗？

kuing

aishuxue 发表于 2022-9-17 22:01
第三问不知道该题有几何背景吗？

不难，如图：

设平行四边形 `ABDC` 对角线交于 `E`，由 `D` 在 `x^2+(y+1)^2=4` 上易知 `E` 在 `x^2+(y-1)^2=1` 上。
设 `BC` 与圆 `x^2+(y-1)^2=1` 的另一交点为 `G`，由 `E` 为 `BC` 中点知 `OE\perp BC`，可见 `OG` 为该圆的直径，因此 `G` 为定点 `(0,2)`。
于是问题转化为常规题：
点 `A(0,3)`，圆 `x^2+y^2=3^2` 上的弦 `BC` 过 `G(0,2)`，则 `k_{AB}\cdot k_{AC}` 为定值。
这就不用我证了吧。