2020年北京全国1第20题 解几中的定值定点 浅说背景极点极线

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已知椭圆$C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$过点$A(-2,-1)$，且$a=2b$．

（Ⅰ）求椭圆$C$的方程．

（Ⅱ）过点$B(-4,0)$的直线$l$交椭圆$C于$点$M,N$,直线$MA,NA$分别交直线$x=-4$于点$P,Q$．求$\frac{|PB|}{|BQ|}$的值．


2020年北京卷第20题

（1）略。
（2）结果是1，其实偶曾说的经典题（准确讲是FAQ）一样，打算，把这个写全了，当然，不是解析几何角度，是仿射几何角度。具体过程在6#。

关键：$A(-2,-1)$和直线$x=-4$不是随便给的，事实上在点$A$的切线过点$B$的。

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有兴趣的，先看这个。

也是北京卷，2018的年文科的逆命题，有解析法过程。

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先看一个圆的几何题，难度并不小的几何题（也许你看完证明之后，会喜欢上解析法，算算即可）。

圆$O$在点$A$处的切线交$OB$于$B$，过$B$引圆$O$的割线$BMN$，过点$B$且垂直于$OB$的直线分别交$MA$，$NA$两直线于点$P$，$Q$。
求证：$BP=BQ$。

证：如图辅助线，给出一种相对通俗的证明。

过点$A$作$AH\perp OB$于$H$交$BM$于点$G$，由$AH\sslash PQ$，则
\begin{align*}
BP=BQ&\iff \frac {BM}{MG}={\color{red}{\frac {BP}{AG}=\frac {BQ}{AG}}}=\frac {BN}{NG}  
\end{align*}
而这个比例式并不简单，请看一道人教四年前的关于圆中比例：1#切线情形 12#割线情形。

下面，我们利用三角形角分线定理，解决此比例式。

也就是说，由$AG\sslash PQ$后，则$BP=BQ\iff \frac {BM}{MG}=\frac {BN}{NG}\iff \frac {MG}{GN}=\frac {MB}{BN}$.



由切割线定理$BA^2=BM\cdot BN$，另一方面在Rt$\triangle BOA$中，由射影定理$BA^2=BH\cdot BO$，于是$$BH\cdot BO=BM\cdot BN \iff M,H,O,N\text{四点共圆}.$$

于是$$\angle MHB=\angle MNO=\angle OMN=\angle OHN,\text{且} GH\perp BO\Rightarrow HG \text{平分}\angle MHN,BH\text{是}\angle MHN\text{外角平分线},$$

于是$$\frac {MG}{GN}=\frac{MH}{HN}=\frac {MB}{BN},$$

于是命题证。

这里的辅助线比不用辅助线的三角要麻烦些，但已经触及其本质了。

kuing

回复 3# isee

这是蝴蝶定理的特殊情形而已：

如上图，蝴蝶定理表明 `BP=BQ`，而楼上的结论就是当 `A_1`, `A_2` 重合时。

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回复 3# isee


然后，我们将此圆并置于坐标标系中，作一个压缩变换（仿射变换）就能得到主楼椭圆的情况。

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显然的，这个平几的证明的难度也是很大的，竞赛级别。

不得不提的是，论坛里有抛物线下的解析法，也是中点（本质完全相同)。


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在图中，我们知道，由点$B$引圆的两切线的切点的连线$AA'$叫切点弦。

过点$B$的圆的任意一条割线$BMN$交切点弦$AA'$于$G$，我们已经证明了，有

\begin{equation*}\frac {BM}{MG}=\frac {BN}{NG}\tag{01}\label{eq01}\end{equation*}

此时，就称点$B$是$AA'$关于圆$O$的极点，$AA'$是点$A$的关于圆$O$的极线。 当点$M$无限趋向于点$A$时，点$A$的极线就是切线$BA$(关于圆$O$的)，也就是二次曲线中，切点与切线的关系就是极点与极线特殊情况。

同时，以上作图也是圆外的极点找其极线的方法，它们是互为一对的。


仿此，椭圆中亦是类似的，严格的证明涉及高等几何，从略。






若共线四点满足\eqref{eq01}，就称点$B$，$G$调和分割线段$MN$，同时亦有点$M$，$N$调和分割线段$BG$。

这四点$B,G,M,N$就是常说的调和点列。


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来小结一下，记住这个结论（定义）即可，擦掉多余的线。





定圆$O$及圆外一定点$B$，圆的任一条割线$BMN$交直线$AA'$于点$G$，若点$G$满足
\begin{equation*}\frac {BM}{MG}=\frac {BN}{NG}\end{equation*}
则称$AA'$是点$B$关于圆$O$的极线，点$B$是$AA'$关于圆$O$的极点。
还要特别一条性质$OB\perp AA'$——但是，注意在椭圆中，仅仅当OB在长轴或者短轴上成立。  
切点与切线的关系就是极点与极线的关系的特殊情形。

特别强调下其逆命题，其实是等价的，即定圆$O$及圆外一定点$B$，圆的任一条割线$BMN$上的一点$G$满足
\begin{equation*}\frac {BM}{MG}=\frac {BN}{NG}\end{equation*}
则点$G$在点$B$(关于圆O的）极线上。
简单点说，就是过极点$B$的直线交点$B$的极线于点$G$，交圆$O$于点$M$，$N$，则$B$，$G$，$M$，$N$四点是调和点列。



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下面来看极点，极线的两个基本性质：

性质1 极点$B$的极线$b$过点$A$，则极点$A$的极线$a$过点$B$。

按这里给出的定义，这是显然。





设直线$AB$交圆$O$于$C$，$D$两点，交极点$A$的极线$a$于点$B'$。

因极点$B$(关于圆$O$)的极线是$b$，于是$A,B,C,D$是调和点列，同样的，$A,B',C,D$是调和点列，于是$B'$与$B$重合，得证。













性质2 点$P$为共线四点$A,B,C,D$的直线外一点，若$A,B,C,D$为调和点列，则线束$PA$、$PB$、$PC$、$PD$其中一射线的任一平行线被其他三条射线截出的两线段相等。


如图所示，$A,B,C,D$四点共线，且$P$为其共线直线外一点，若$\frac {AC}{CB}=\frac {AD}{DB}$，$EF \sslash PA$，则$EB=BF$。





一般情况下应该证明 $C'B'=B'F'$，不过，由位似只需证(过点$B$的平行线)$EB=BF$，这只需要仿照3#即可，具体过程略。







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以上内容，但求无错，别误导了别人就好。

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至此，在二次曲线中，如椭圆里，极点极线的性质，可以由圆中直接平移过去(用)。

即，主楼可以不算而得结果。


接主楼

（1）$x^2/8+y^2/2=1$，过程略。

（2）先看一个较绕的过程。

极（切）点$A(-2,-1)$对于椭圆的极（切）线为$-2x/8-y/2=1$即$x+2y+4=0$，显然过极点$B(-4,0)$，于是极点$B$的极线过点$A$。


$x$轴交$x=-4$(——注，极线$x=-4$关于椭圆的极点设为$B'$，因为极线垂直于椭圆的长轴，因此极点$B'$在$x$轴上——)椭圆分别于$B(-4,0),A_1(-2\sqrt 2,0),A_2(2\sqrt 2,0)$。
——经过简单计算知，就是求调和点列$B(-4,0),B',A_1(\sqrt 2.0),A_2(\sqrt 2,0)$中的$B'$坐标——则可求得，$A_1A_2$的调和分割点中的(一个是$B$，)另一个是(极线$x=-4$关于椭圆的极)点为$B'(-2,0)$，于是极点$B$的极线过点$B'$。

所以，极点$B$关于椭圆的极线就是$AB':x=-2$。





记$AB'$交$MN$于点$G$，则有调和点列$B,G,M,N$。又有线束$AB,AG,AM,AN$，而$PQ\sslash AG$，所以（由性质2)，$BP=BQ$。







另一个直接一点的方式就是，过点$B$直接作椭圆的两条切线，找出切点弦$AG$（即点$B$关于椭圆的极线)，然后直接用性质2了。

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回复 4# kuing


以回应4#作结，这确实是圆外蝴蝶定理，指出后，才恍然大悟。

其证明也可以仿照切线情况来处理，也就是《一道人教四年前的关于圆中比例：1#切线情形 12#割线情形》 文中12#的另一种解法。证法也很漂亮，不过，比较繁琐，此处不表。

本文尽量从零入手，在调和点列的下定义极点极线，给初学者一个简单而重要的印象。

行文若有误，请斧正，且请参考任何一本《高等几何》中的调和点列，极点极线相关内容。

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细心的，已经发现，前面说的是圆外以及圆上的极点与其对应的极线。


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下面看看圆内非圆心的极点与极线。
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不过，先从另一个方面解决《一道人教四年前的关于圆中比例：1#切线情形 12#割线情形》 文中12#的命题，即以下命题——

如图，圆$O$的两条割线$ABC$，$ADE$，记$BE$，$CF$相交于点$F$，直线$AF$交圆$O$于$G$，$H$两点，证明：$A,F,G,H$是调和点列。

证明(By iC)：

在$AG$上取点$M$，使得$AG\cdot AH=AD\cdot AE=AB\cdot AC=\color{red}{AF\cdot AM}$.

连接$EM$，由$AD\cdot AE=AG\cdot AM$得$$F,D,E,M\text{四点共圆}\Rightarrow \angle HME=\angle FDE=\angle CDE=\angle EBC.$$

同理，由$F,M,C,B$四点共圆，得到$$\angle HMC=\angle FBC=\angle EBC=\angle CDE.$$


从而$$\angle EMC=\angle HME+\angle HMC=2\angle EBC=\angle EOC\Rightarrow O,M,E,C\text{四点共圆}\Rightarrow OM\perp GH.$$

此处省略很多，这个$90$度角得来的主要方向是在等腰三角形$OEC$中，顶角的一半与底角的和为$90$度.


再过点$F$作$FK\perp OA$于$K$，即有$\angle AKF=\angle FMO$，亦是$$K,F,M,O\text{四点共圆}\Rightarrow AG\cdot AH=AF\cdot AM=AK\cdot AO\Rightarrow K,G,H,O\text{四点共圆}.$$


以下证明和3#一样，可以证明$\triangle KGH$内外角分线分别为$KF$，$KA$，从而$GF/FH=GK/KH=GA/AH$，即$A,F,G,H$是调和点列。


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显然，3#的证明只是这个证明的后半部分，但是3#的证明不能省略：给出了极线，换句话说(此图中的)点$F$在极点$A$的极线上(关于圆$O$).
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以上圆中的性质，在椭圆内一样成立，这里直接应用，严格证明从略（吾iC个人也没有这个能力说清晰——不过，后来20200826补充的11#直接丢出的结果却是可以拿来就用的）.





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下面正式看看在圆内非圆心的极点如何确定其极线


如图，过圆内一点$F$，作两条相交的弦$BE$，$CD$，再两两连接$B,D,E,C$得六条直线，除弦$BE$，$CD$外，另四条直线分别相交得到点$A,G$，则$AG$即为极点$F$的极线。





理由如下：直线$AF$交圆$O$于$M$，$N$，则$A,F,M,N$为调和点列，即点$F$在极点$A$的极级上，由性质1，则极点$F$的极线过点$A$.
同样的，可知点$F$在点$G$的极线上，则极点$F$的极线过点$G$.
从而，极点$F$的极线就是$AG$.

同理可得极点$A$的极线是$FG$，极点$G$的极线是$AF$，正这因为如此，通常将$\angle AFG$称关于圆$O$的自极三角形.







此外，若连接$GM$，$GN$，这两线就是过点$G$的切线，想想为什么？这也是单尺作圆外一点切线实用方法.






仿此，椭圆中亦是成立的——实际上，任意二次曲线均适用，结果在11#.

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下面再看一个应用，2020年全国卷1理科第20题：


已知$A$、$B$分别为椭圆$E$：$\frac{x^2}{a^2}+y^2=1(a>1)$的左、右顶点，$G$为$E$的上顶点，$\overrightarrow{AG}\cdot \overrightarrow{GB}=8$，$P$为直线$x=6$上的动点，$PA$与$E$的另一交点为$C$，$PB$与$E$的另一交点为$D$．

（1）求$E$的方程；

（2）证明：直线$CD$过定点.


解：

    (1)$x^2/9+y^2=1$;

    (2) 分析与角如下：

$BC$直线交$AD$直线相交于点$E$，连接$CD$交$x$轴于$H$，则点$H$就是极线$PE$的极线.

又由于点$H$在椭圆的长轴(主轴)上，则极线$PE\perp x$轴，即$PE$的方程就是$x=6$.

再由定点$A(-3,0),B(3,0),(6,0)$求得$H（3/2,0)$，$H$就是$CD$所过的定点。







这里，有个“超纲”的，就是$PE$垂直于$x$轴，你这可以这样看，先在圆中作图证明，然后将圆放置于坐标系，纵向拉伸成此椭圆即可.


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20200815

先把过程严谨化吧，将$PE\perp x$轴用解析几何角度来说明吧.


对点$C$，熟知$$k_{CA}k_{CB}=-\frac {b^2}{a^2}\iff k_{PA}k_{EB}=-\frac {b^2}{a^2}\Rightarrow \frac{y_P}{x_P+a}\cdot\frac{y_E}{x_E-a}=-\frac {b^2}{a^2},$$

同理对点$D$，有$$\frac{y_E}{x_E+a}\cdot\frac{y_P}{x_P-a}=-\frac {b^2}{a^2},$$

由上两可得$$x_P=x_E,$$

即$PE \perp x$轴.



下接11#

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"如何说明极点在主轴上则极线垂直于主轴"，待补充~



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以上行文的思想实际是在圆中，再仿射变换至椭圆，并告之，这些结论在任意二次曲线里是成立的。
正是基于圆来说，所以，介绍时是以几何角度来说的。
但是，要完美的说明“极点在主轴上则极线垂直于主轴”——个人iC观点——必须说无穷远点与无穷远直线，而这，正是前文特意回避的。

在8楼图中

当$F$为圆心$O$时，$AG$就是无穷远直线，而所有的无穷远点均在这条惟一的无穷直线上，即圆心$O$的极线是无穷远直线，似乎，远远超越平面几何。
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暂时搁着吧。

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上接9#

个人iC以为上面的平面几何介绍极点级线已经入门完毕了，大致会有重要的印象了。

但，我想更多在高中段者，是不关心这些，只关心这些东西如何快点求出来罢了。

那就直接上直角坐标系来看一般的二次曲线吧，同样的，这里不涉及无线穷点与无穷直线。





命题：定点$Q(x_0,y_0)$不在二次曲线$\Gamma:Ax^2+Bxy+Cy^2+Dx+Ey+F=0$上，过点$Q$的直线交$\Gamma$于$A$，$B$两点，若在直线$AB$上的动点$P(\ne Q)$，$Q$调和分割线段$AB$，即有$$\frac {\abs{AP}}{\abs{PB}}=\frac {\abs{AQ}}{\abs{QB}},$$
则点$P$的轨迹方程为$$Ax_0y+B\frac {x_0y+y_0x}2+Cy_0y+D\frac {x_0+x}2+E\frac {y_0+y}2+F=0$$本身或者其局部。



粗略的证明此命题如下：不妨设点$P(x,y)$为内分点，$A(x_1,x_2)$，$B(x_2,y_2)$，则由
\begin{align*}
\frac {\abs{AP}}{\abs{PB}}=&\lambda=\frac {\abs{AQ}}{\abs{QB}}\\[1em]
\Rightarrow &\left\{\begin{aligned}x=\frac {x_1+\lambda x_2}{1+\lambda},\\y=\frac {y_1+\lambda y_2}{1+\lambda}\end{aligned}\right.\\[1em]
\Rightarrow &\left\{\begin{aligned}x_0=\frac {x_1-\lambda x_2}{1-\lambda},\\y_0=\frac {y_1-\lambda y_2}{1-\lambda}\end{aligned}\right.
\end{align*}

将$x_0,y_0,x,y$代入欲证等式，整理得$$\iff (Ax_1^2+Bx_1y_1+Cy_1^2+Dx_1+Ey_1+F)-\lambda^2(Ax_2^2+Bx_2y_2+Cy_2^2+Dx_2+Ey_2+F)=0,$$
此式显然为成立，证毕。


当然，点$Q$在二次曲线上时上述命题依然成立。

综上，这便是极点与极线解析式了。



这样一来，最后的结果就可以直接解析的来求了，未完待续~

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至此，入门完毕，个人以为回答了老帖《极点在圆锥曲线内的极线有没有适合高中生的证明》。

肯定还有些细节需要完善，但求无过，此文没想到断断续续写这么长，谢谢点开。