请教一道圆锥曲线题，是否有比较巧妙的解法（不限于中学知识）

maomaoxiangcao

椭圆 $C$ ：$\frac {x^2} 4+\frac {y^2} 3=1$

P 为 $x=4$ 上一点，过 P 的直线 $m$ 交 $C$ 于 $A,B$，在线段 $AB$ 上取  $Q$，满足 $\frac {AP} {PB}=\frac {AQ} {QB} $，求证：当固定 $P$ 点时，$Q$ 在一条过焦点的直线上。

只会联立

kuing

不限于中学知识的话，那这就是极点极线的基本知识呗。

右焦点 F(1,0)，那么 x=4 就是 F 的极线。`\frac {AP} {PB}=\frac {AQ} {QB}` 说明 P、A、Q、B 调和，那么 Q 在 P 的极线上，而 P 在 F 的极线上，则 P 的极线必经过 F。

Mason·visible

kuing 发表于 2023-11-12 16:14
不限于中学知识的话，那这就是极点极线的基本知识呗。

右焦点 F(1,0)，那么 x=4 就是 F 的极线。`\frac {A ...

为什么x=4是F的极线？

kuing

Mason·visible 发表于 2023-11-12 20:43
为什么x=4是F的极线？

焦点的极线就是准线🙂

Tesla35

定比点差法。

一般性结论

若点$A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)$在有心二次曲线$\frac{x^2}{a^2}\pm\frac{y^2}{b^2}=1$上,且直线$AB$恒过点$P(x_P,y_P),Q(x_Q,y_Q)$,且有$\frac{|AP|}{|PB|}=\frac{|AQ|}{|QB|}.$

设$\vv{AP}=\lambda\vv{PB}(\lambda\neq\pm1)$,则由定比分点公式可得
$\left\{\begin{aligned}
        &x_P=\frac{x_1+\lambda x_2}{1+\lambda},\\
        &y_P=\frac{y_1+\lambda y_2}{1+\lambda}.
\end{aligned}\right.$.

设$\vv{AQ}=-\lambda\vv{QB}$,则由定比分点公式可得
$\left\{\begin{aligned}
        &x_Q=\frac{x_1-\lambda x_2}{1-\lambda},\\
        &y_Q=\frac{y_1-\lambda y_2}{1-\lambda}.
\end{aligned}\right.$.

当$\lambda\neq\pm1$时,将点$A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)$代入曲线,有
$$\left\{\begin{aligned}
        &\frac{x_1^2}{a^2}\pm\frac{y_1^2}{b^2}=1\\
        &\frac{x_2^2}{a^2}\pm\frac{y_2^2}{b^2}=1
\end{aligned}\right.$$

$\times\lambda^2$得到
$$\frac{\lambda^2x_2^2}{a^2}\pm\frac{\lambda^2y_2^2}{b^2}=\lambda^2$$

作差整理可得
$$\frac{(x_1+\lambda x_2)(x_1-\lambda x_2)}{a^2(1+\lambda)(1-\lambda)}\pm\frac{(y_1+\lambda y_2)(y_1-\lambda y_2)}{b^2(1+\lambda)(1-\lambda)}=1$$

将前式代入可得
$$\frac{x_Px_Q}{a^2}\pm\frac{y_Py_Q}{b^2}=1.$$

maomaoxiangcao

Tesla35 发表于 2023-11-19 20:44
定比点差法。

一般性结论

非常感谢，一年过去了再看这一题感觉就比较trivial了，大概是水平多少有些许进步吧（