抛物线焦点弦的一个性质

zhcosin

这是从微信公众号“数学解题之路”的一道题目中提炼出的一个结论（原题就不贴了，有了这里的结论，原题就不在话下了）:
性质 过抛物线对称轴上焦点外侧任一点$D$，分别向过焦点$F$的弦$MN$的两个端点引直线，分别与准线相交于点$P$和$Q$，准线与对称轴的交点是$R$，那么: （1）直线$DR$、$PN$、$QM$三线共点(设为点$T$，图中未标)，(2)点$R$,$T$,$F$,$D$构成调和点列。



证明  (1)由塞瓦定理，只需证
\[ \frac{DN}{NQ} \cdot \frac{QR}{RP} \cdot \frac{PM}{MD} = 1 \]
  设点$N$在准线上的投影是$N_0$，则有$NF=NN_0$，再设点$N$在抛物线对称轴上的投影是$N_1$，则
  \[ \frac{DN}{NQ} = \frac{NN_1}{QN_0} = \frac{NN_1}{NF} \cdot \frac{NN_0}{QN_0} = \sin{\angle NFD} \cdot \tan{\angle DQP} \]
  同理可得
  \[ \frac{DM}{MP} = \sin{\angle MFR} \cdot \tan{\angle DPQ} \]
  而显然$\angle NFD = \angle MFR$，而且
  \[ \frac{QR}{RP} = \frac{\frac{DR}{RP}}{\frac{DR}{QR}} = \frac{\tan{\angle DPQ}}{\tan{\angle DQP}} \]
  因此那个塞瓦式子成立，结论得证。
  (2) 对 $\triangle QRD$ 和截线$PTN$ 使用梅涅劳斯定理得
  \[ \frac{DN}{NQ} \cdot \frac{QP}{PR} \cdot \frac{RT}{TD} = 1 \]
  再对 $\triangle PRD$ 和截线 $QTM$ 使用梅涅劳斯定理得
  \[ \frac{DM}{MP} \cdot \frac{PQ}{QR} \cdot \frac{RT}{TD} = 1 \]
  由此二式便得
  \[ \frac{RT}{TD} \left( \frac{DN}{NQ} + \frac{DM}{MP} \right) = 1 \]
  记$\angle NFD=\theta$，$\angle DQP=\alpha$，$\angle DPQ=\beta$，则由(1)的证明过程中所得结果可得
  \[ \frac{DN}{NQ} + \frac{DM}{MP} = \sin{\theta} (\tan{\alpha} + \tan{\beta}) \]
  记$DF=d$，有熟知的焦半径
  \[ NF=\frac{p}{1-\cos{\theta}}, \  MF = \frac{p}{1+\cos{\theta}} \]
  由几何关系得
  \[ \tan{\alpha} = \tan{\angle DNN_1} = \frac{DN_1}{NN_1} = \frac{DF-NF\cos{\theta}}{NF \sin{\theta}} = \frac{d(1-\cos{\theta})-p\cos{\theta}}{p\sin{\theta}} \]
  同理可得
  \[ \tan{\beta} = \frac{d(1+\cos{\theta})+p\cos{\theta}}{p\sin{\theta}} \]
  由此二式便得
  \[ \sin{\theta}(\tan{\alpha} + \tan{\beta}) = \frac{2d}{p} \]
  即
  \[ \frac{DN}{NQ} + \frac{DM}{MP} = \frac{2d}{p} \]
  所以
  \[ \frac{RT}{TD} = \frac{p}{2d} \]
  由此便知，当抛物线和点$D$的位置确定后，点$T$的位置便固定下来，与焦点弦的具体位置无关，由上式不难求得
  \[ RT = \frac{p(p+d)}{p+2d}, \  TF=\frac{dp}{p+2d} \]
  于是
  \[ \frac{RT}{TF} = \frac{p+d}{d} = \frac{RD}{DF} \]
  所以这四点为调和点列.

zhcosin

从这个证明过程可以看出，这个结论对于椭圆和双曲线也都适用，而且这个证明过程也可以非常容易的移植到椭圆和双曲线。

abababa

回复 1# zhcosin

这题网友证明过更一般的结论：点$M$关于圆锥曲线$C$的极线是$A'B'$，$AB$是$C$的过点$M$的弦，$P$是任意一点，其它交点如图所示，则$AA',BB',MM'$三线共点。而主楼那个因为焦点$F$的极线就是准线，所以自动成立了。

zhcosin

回复 3# abababa

擦擦擦，这么高端。。。。

kuing

回复 3# abababa

看起来 M, M', P 和中间那交点还是调和嘀？

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哦，好像是废话……

abababa

回复 5# kuing

共点之后就变成完全四边形了，所以那些调和点列就都自动出来了。

abababa

回复 3# abababa

发网友当时的证明，不过他没画图，而且字母标的和我画的图是不一样的。他对问题的叙述是：
设$A_1A_2$为圆锥曲线$\Gamma$的弦，点$M \in A_1A_2$，点$M$的极线是$B_1B_2$，点$P$为任意一点，$PA_1 \cap B_1B_2 = B_1, PA_2 \cap B_1B_2 = B_2$，则必有$A_1B_2,A_2B_1,PM$共点。
证明是：
设过点$A_1,A_2$的$\Gamma$两切线点是$A$，取自极三角形$AA_1A_2$为坐标，再让单位点$(1,1,1)$在$\Gamma$上，则$\Gamma$的方程为$\begin{bmatrix}
x_1 & x_2 & x_3
\end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
-2b & 0 & 0\\
0 & 0 & b\\
0 & b & 0
\end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
x_1\\x_2\\x_3
\end{bmatrix} = 0$。由于$M$在$A_1A_2 = (1,0,0)$上，因此不妨设点$M$坐标为$M = (0,1,m)$，再设点$P = (x,y,z)$。

点$M$的极线$B_1B_2$的方程为$\begin{bmatrix}
0 & 1 & m
\end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
-2b & 0 & 0\\
0 & 0 & b\\
0 & b & 0
\end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
x_1\\x_2\\x_3
\end{bmatrix} = 0$，即$0x_1+mx_2+x_3=0$，于是$B_1B_2=(0,m,1)$。因此$B_1=(-mx,z,-mz), B_2=(x,y,-my)$，于是$A_1B_2=(my,0,x), A_2B_1=(z,mx,0), PM=(my-z,-mx,x)$。因为$\begin{vmatrix}
A_1B_2 & A_2B_1 & PM
\end{vmatrix} = 0$，因此三线共点。

zhcosin

完善了一下结论，对称轴上的四个点构成调和点列，其实这是完全四边形的固有结论，并不关抛物线什么事（找空恶补完全四边形）。