一道人教四年前的关于圆中比例：1#切线情形 12#割线情形

isee

原题：bbs.pep.com.cn/thread-547764-1-1.html

这题一直悬而未决，现在先退化成切线情形，看看：







如图，过圆$O$外一点$P$，作圆$O$的两条切线，切点为$M$，$N$。
过$P$任作一条圆$O$的割线$PBC$交$MN$于$A$；$B$，$C$在圆$O$上。
求证：$\dfrac {PB}{PC}=\dfrac {AB}{AC}$。


将10楼 战巡 的过程再简化一下便是

连接MC，CN，NB，BM，由（切线得）弦切角等，得相似三角形，便是：

\begin{align*}
\dfrac {PB}{PC}&=\dfrac {PB}{PM} \cdot \dfrac {PN}{PC}\\
&=\dfrac {BM}{MC} \cdot \dfrac {BN}{NC}\\
&=\dfrac{S_{\triangle MBN}}{S_{\triangle MCN}}\\
&=\dfrac{AB}{AC}
\end{align*}



下面，在12楼继续，切线均变成割线情形。

其妙

回复 1# isee
都是FAQ吧，

Tesla35

难道不是和那个什么调和点列神马的有关么……

其妙

难道不是和那个什么调和点列神马的有关么……
Tesla35 发表于 2014-1-13 00:06

isee

回复 2# 其妙

具体操作方法？

其妙

回复 5# isee
算得上一个名题，其操作方法想必在教材（或参考辅导书）里大量存在吧，写出来也不是首创了吧。
除了和调和分割、反演有关，还有一个等价的结论：倒数成等差数列。

kuing

原贴里没解决吗？

isee

回复 7# kuing

其实呢，当年你在3楼提出，及20楼的补充，已经解决，而且是从源头解决。包括原帖的链接，原方向其实已经走到尽头。


这里，更想，集大众之长，就题论题，看看还有没有其他的切入点。

退化成切线情形，命题也很美，或个人很喜欢，只不过，有寻找另外的纯几证明意思……

其妙

回复 8# isee
你先来一个，

战巡

回复 1# isee


\[\frac{PB}{PC}=\frac{S_{△PMB}}{S_{△PMC}}=\frac{BM·\sin∠PMB}{CM·\sin∠PMC}=\frac{BM·\sin∠MCB}{CM·\sin∠MBC}=\frac{BM^2}{CM^2}\]
同理有
\[\frac{PB}{PC}=\frac{BN^2}{CN^2}\]
有
\[\frac{BN}{CN}=\frac{BM}{CM}\]
而
\[\frac{AB}{AC}=\frac{S_{△MAB}}{S_{△MAC}}=\frac{MB·\sin∠BMA}{MC·\sin∠CMA}=\frac{BM·BN}{CM·CN}\]
加上上面就有
\[\frac{PB}{PC}=\frac{AB}{AC}\]

isee

回复 10# 战巡

谢谢战巡出手！

楼上过程，再简化一下，由弦切角，及相似三角形，便是：

\begin{align*}
\dfrac {PB}{PC}&=\dfrac {PB}{PM} \cdot \dfrac {PN}{PC}\\
&=\dfrac {BM}{MC} \cdot \dfrac {BN}{NC}\\
&=\dfrac{S_{\triangle MBN}}{S_{\triangle MCN}}\\
&=\dfrac{AB}{AC}
\end{align*}


在证明过程中，附带的得到：$BN \cdot CM =CN \cdot BM$，即此形，圆内接四边形$MCNB$对边乘积相等。

那过来，是否有PN，PM是切线呢？这是后话。

isee

如图，$PB_1C_1,PB_2C_2$均为圆$O$割线，$B_1C_2,B_2C_1$相交于$A$。

求证：$\dfrac {PB}{PC}=\dfrac {AB}{AC}$。


由以上，只需要证此点$A$在$MN$上即可。



故有如下“暴力”证明：






过$P$作圆$O$的两条切线，$PM$，$PN$，$M$，$N$均为切点，连接$MN$交$B_2C_2$于$D$。

考查三角形$C_2NB_2$，有：

\begin{align*}
\dfrac {C_2E}{EN}\cdot \dfrac {NF}{FB_2} \cdot \dfrac {B_2D}{DC_2}&=\dfrac {C_1C_2\sin \angle 3}{C_1N \sin \angle 1}\cdot \dfrac {B_1N \sin \angle 2}{B_1B_2 \sin \angle 3} \cdot \dfrac {MB_2 \sin \angle 1}{MC_2 \sin \angle 2}\\[1em]
&=\dfrac {C_1C_2}{C_1N}\cdot \dfrac {B_1N }{B_1B_2} \cdot \dfrac {MB_2}{MC_2}\\[1em]
&=\dfrac {C_1C_2}{B_1B_2} \cdot \dfrac {B_1N }{C_1N}\cdot \dfrac {MB_2}{MC_2}\\[1em]
&=\dfrac {PC_2}{PB_1} \cdot \dfrac {PB_1 }{PN}\cdot \dfrac {PM}{PC_2}\\[1em]
&=1
\end{align*}

由Ceva定理逆定理，有$MN$过$A$点。
证毕。

真是一道“变态”的相似形之旅……

isee

在上面的证明过程中，有
\[\dfrac {C_1C_2}{B_1B_2} \cdot \dfrac {B_1N }{C_1N}\cdot \dfrac {MB_2}{MC_2}=1\]
即
\[{C_1C_2}\cdot {B_1N }\cdot {MB_2}={B_1B_2}\cdot  {C_1N} \cdot {MC_2}\]




如图，不会表述了，总之三边积等，三线共点。

与11#附带结果相映成趣。

isee

最后，如果是一条切线，一条切割，如果仍然要有类似的结果，则需要怎样（取到这）四点呢？

乌贼

深入

其妙

深入
乌贼 发表于 2014-1-14 17:14

好的，
那个两条切线的情况，如果构造内外角平分线定理，也是立刻可得求证比例式。
如果用解析几何也是可以做的，但是需要一些运算技巧，否则解析几何是一种理论上行得通，但操作起来却是困难重重（眼高手低）
继续深入：这儿有个未完结的帖子
bbs.pep.com.cn/forum.php?mod=viewthread&tid=2000686

其妙

回复 16# 其妙
能用解几方法证明吗？

其妙

一个老问题的追溯（by连云港数学老师陈老师）：blog.sina.com.cn/s/blog_c27636ef0101eii1.html

isee

将一割线AFD过圆心O，另一割线ABC，C'与C关于AO对称，则有定点E。





比如，让AF=FO，则E为FO中点。

isee

这题是“变态”呢，将圆变成椭圆，便将其相应割线变成对轴称，则有解析题：

设$P(4,0)$，$A$，$B$是椭圆$C:\dfrac{x^2} 4+\dfrac {y^2}3=1$上关于$x$轴对称的任意两个不同的点，连结$PB$交椭圆$C$于另一点$E$，证明直线$AE$与$x$轴相交于定点$Q$。

完整的题目，可以参见

北京市东城区2009-2010学年度第二学期综合练习（一）高三数学（理科）

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2014年5月西城高考数学二模理科，则考其逆命题。

2014年5月北京西城数学高考二模，也考到这个（变式）了，说两向量积为定值，求点对称。


题干：设$A,B$是椭圆$W:\dfrac {x^2}4+\dfrac {y^2}3=1$上不关于坐标轴对称的两个点，直线$AB$交$x$轴于点$M$（与点$A,B$不重合），$O$为坐标原点.
设$N$为$x$轴上一点，且$\vv {OM}\cdot \vv {ON}=4$，直线$AN$与椭圆$W$的另外一个交点为$C$.
证明：点$B$与点$C$关于$x$轴对称.

可与此帖对照：forum.php?mod=viewthread&tid=2506