求椭圆离心率

lrh2006

设F是椭圆$ \dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1（a>b>0） $的右焦点，O为坐标原点，过F做斜率为$ \sqrt{15} $的直线l交椭圆于A,B两点（A点在x轴上方），过O作AB的垂线，垂足为H，且|HB|=|HF|，则该椭圆的离心率是多少？
请教大咖们，谢谢！

isee

F 是到底是右焦点？还是左焦点.

lrh2006

isee 发表于 2022-11-26 23:28
F 是到底是右焦点？还是左焦点.

右
晕，竟然打错
已经在题目中改过来了

isee

设 $l$ 的倾斜角为 $\theta$，则依题知 $\cos\theta=\frac 14$, 设点 $B(x,y)$ 则\[x=c+|BF|\cos(\pi-\theta)=c-|BF|\cos\theta,\]
另一方面，由椭圆第二定义，得焦半径长\[|BF|=a-ex,\]
这两式联立消 $x$ 解得\[|BF|=\frac{b^2}{a-c \cos\theta}.\]
在 $\text{Rt}\triangle OHF$ 中，有\[\frac 12|BF|=|HF|=|OF|\cos\theta=c\cos\theta,\]
从而\[2c\cos\theta=BF=\frac{b^2}{a-c \cos\theta},\]
将 $\cos\theta=\frac 14,\;b^2=a^2-c^2$ 代入，
\[\frac c2=\frac{a^2-c^2}{a-\frac c4},\]
求得\[e=\frac{2\sqrt {15}-2}7.\]

lrh2006

isee 发表于 2022-11-27 19:30
设 $l$ 的倾斜角为 $\theta$，则依题知 $\cos\theta=\frac 14$, 设点 $B(x,y)$ 则\[x=c+|BF|\cos(\pi-\thet ...

明白了，谢谢老师！