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源自知乎提问
题：过焦点在 x 轴上的标准方程的椭圆上(第二象限)一点 P 作椭圆的切线 $l$ ，左焦点 F，若 FO 的中点 Q 满足 $PQ\perp l$ 且 $\triangle PFQ$ 的周长为 $2\sqrt 3b$ ，求离心率.
图 1
依题 $PQ\perp l$ 且 $l$ 切椭圆于 $P,$ 由椭圆的光学性质知 $PQ$ 平分 $\angle FPF'$，从而 \[\frac {FP}{PF'}=\frac{FQ}{QF'}=\frac 13,\;\therefore PF=\frac a2,\,PF'=\frac {3a}2.\] 则在 $\triangle PFF'$ 中由中线长公式知 \[OP^2=\frac 12PF^2+\frac 12PF'^2-\frac 14FF'^2=\frac{5a^2-4c^2}4.\] 于是，同样的，在 $\triangle PFQ$ 中有 \[PQ^2=\frac12PF^2+\frac12OP^2-\frac 12OF^2=\frac {3(a^2-c^2)}4=\frac {3b^2}4.\] 即 \[PQ=\frac{\sqrt 3b}2.\] 于是 \[PF+FQ+PQ=\frac a2+\frac c2+\frac{\sqrt 3b}2=2\sqrt 3b,\] 而 $a^2-c^2=b^2$ ，所以
\[(a+c)^2=27b^2=27a^2-27c^2\Rightarrow e=\frac{13}{14}.\] |
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