若 $|AF|\cdot|FB|=|FC|\cdot |FD|\cdot k^2,$ 求 $k^2 e$ 最大值

isee

源自知乎提问

题：过椭圆 $b^2x^2+a^2y^2=a^2b^2(a>b>0)$ 的左焦点 F 作一条斜率为 k 直线交椭圆于 A，B 两点. 过 F 作 $FC\perp$ x 轴交椭圆于 C，再连接 F 与 椭圆的下顶点 D. 若 $|AF|\cdot|FB|=|FC|\cdot |FD|\cdot k^2,$ 则 $k^2 e$ 的最大值为_______. ( e 为椭圆的离心率）

设 $AB$ 直线的倾斜角为 $\theta$ ，不妨设点 $A(x,y)$ 在 $x$ 轴上方，则点 $A$ 的横坐标 \[x=-c+|AF|\cos \theta.\] 由椭圆第二定义，易知其焦半径 $|AF|=a+ex$ ，这两式联立，有 \[|AF|=\frac{b^2}{a-c\cos \theta}.\] 同样的，得到 \[|BF|=\frac{b^2}{a+c\cos\theta},\] 而熟知 $|FC|=b^2/a,\;|FD|=a,$ 于是条件化为

\[\frac{b^2}{a-c\cos \theta}\cdot \frac{b^2}{a+c\cos \theta}=\frac{b^2}a\cdot a\cdot k^2,\tag{01}\] 再注意到 \[1+k^2=1+\tan^2\theta=\frac 1{\cos^2\theta},\tag{02}\] 联立 $(1),(2)$ 式消 $\theta$ 得到 \[k^2=\frac ba.\] 所以 \[k^2e=\frac{bc}{b^2+c^2}\leqslant\frac{bc}{2bc}=\frac 12.\]

PS：挺意外的，椭圆竟然是变动的.

kuing

“过 F 作 `FC\perp` x 轴交于 C” 应该是 “交椭圆于 C”。

可以玩伸缩变换：

若沿 `y` 轴方向将椭圆拉伸为圆，记拉伸后点 `A`, `B` 分别变为 `A'`, `B'`，则有
\[A'F=\sqrt{\frac{1+\left(\frac abk\right)^2}{1+k^2}}\cdot AF,\]
对 `B` 同理，所以
\[A'F\cdot B'F=\frac{1+\left(\frac abk\right)^2}{1+k^2}\cdot AF\cdot BF,\]
而圆的时候有相交弦定理，就是有
\[A'F\cdot B'F=(a-c)(a+c)=b^2,\]
由以上两式，即得
\[AF\cdot BF=b^4\frac{1+k^2}{b^2+a^2k^2},\]
易知 `FC\cdot FD=b^2/a\cdot a=b^2`，所以已知条件化为
\[b^4\frac{1+k^2}{b^2+a^2k^2}=b^2k^2\riff k^2=\frac ba,\]
下同楼主。