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源自知乎提问
题：椭圆 $\frac {x^2}4+y^2=1$ 的左右顶点分别为 A，B，若椭圆的弦 CD 过定点 P(1,0)，求证： $k_{AD}/k_{BC}$ 为定值.
设直线 CD $x=my+1$ ，利用 \[\frac{k_{AD}}{k_{BC}}=\frac{k_{AD}\cdot k_{BD}}{k_{BC}\cdot k_{BD}}=\frac{-1/4}{k_{BC}\cdot k_{BD}},\] 沟通了韦达定理.
下面另寻出路，一般化：对任意椭圆的参数方程 $(a\cos\theta,b\sin\theta)$ ，设 C，D 的参数分别为 $\theta_1,\,\theta_2$ ，并设 CD 直线过定点 $P(t,0)$ ，则由 $\overrightarrow{CP}=\lambda \overrightarrow{PD}$ 有 \begin{gather*}
(t-a\cos\theta_1)\cdot b\sin\theta_2=(a\cos\theta_2-t)\cdot (-b\sin\theta_1),\\[1ex]
t(\sin\theta_1-\sin\theta_2)=a\sin(\theta_1-\theta_2),\\[1ex]
t\cdot 2\cos\frac{\theta_1+\theta_2}2\sin\frac{\theta_1-\theta_2}2=2a\sin\frac{\theta_1-\theta_2}2\cos\frac{\theta_1-\theta_2}2,\\[1ex]
\frac{t}a=\frac{\cos\frac{\theta_1-\theta_2}2}{\cos\frac{\theta_1+\theta_2}2},\\[1ex]
\frac{t-a}{t+a}=\frac{\cos\frac{\theta_1-\theta_2}2-\cos\frac{\theta_1+\theta_2}2}{\cos\frac{\theta_1-\theta_2}2+\cos\frac{\theta_1+\theta_2}2}=\frac{-2\sin\frac{\theta_1}2\sin\frac{-\theta_2}2}{2\cos\frac{\theta_1}2\cos\frac{-\theta_2}2},\\[1ex]
\color{blue}{\tan\frac{\theta_1}2\tan\frac{\theta_2}2=\frac{t-a}{t+a}}.
\end{gather*} 此式(椭圆参数方程时)解决韦定定理难以处理的斜率问题时是一把好手.
如这里，令 $t=1$ ， $(a=2,\,b=1)$ ，则 \[\tan\frac{\theta_1}2\tan\frac{\theta_2}2=\frac{1-2}{1+2}=-\frac 13.\] 从而 \[\frac{k_{AD}}{k_{BC}}=\frac{\sin\theta_2}{2(1+\cos\theta_2)}\cdot\frac{-2(1-\cos\theta_2)}{\sin\theta_1}=\tan\frac{\theta_2}2\tan\frac{\theta_1}2=\frac13.\] |
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kuing
发表于 2023-1-28 01:17
