从球面圆投影到平面

hbghlyj

考虑两个圆锥曲线集合：
$S_1=$单位球面上的所有的圆投影到平面；
$S_2=$单位圆内的所有满足“轴线与中心向量方向一致”的椭圆。

$S_1\subset S_2$
它们相同吗？换句话说，单位圆内是否存在一个椭圆，它不是在单位球面上的圆的投影？

hbghlyj

在单位球面上，一个圆对应于所在的平面
$$n_x x + n_y y + n_z z = d,\quad \|n\|=1,\;|d|<1$$
因此，$S_1$ 中的椭圆总共只有 3 个自由度。

单位圆内任意椭圆由以下参数决定：
中心：2 个自由度
长轴与短轴：2 个自由度
合计 4 个自由度。

由于 $3<4$，显然 $S_1\subsetneq S_2$。

hbghlyj

投影椭圆必然满足的约束
短轴、长轴、中心
满足什么约束