来自知乎：椭圆上两点与两焦点连线，证明线段和相等

kuing

原帖网址：zhihu.com/question/1910961852080431305

总感觉以前见过，但没搜到……🥺

想了一下，也没想到很简洁的证法😥，这么漂亮的性质理应有很漂亮的证法才是……

我的证法感觉有点麻烦，所以暂时不敢发到知乎那边

如图，记 `QA=a`, `QB=b`, `QF_2=c`, `QF_1=d`, `PB=e`, `PA=f`，由 `A`, `B` 在椭圆上可设 `AF_1+AF_2=BF_1+BF_2=s`，则 `AF_1=s-a-c`, `BF_2=s-b-d`，由余弦定理有
\[\frac{a^2+d^2-(s-a-c)^2}{ad}=\frac{b^2+c^2-(s-b-d)^2}{bc},\]
去分母因式分解为 `(s-c-d)\bigl((c-d)(2ab+ad+bc)+(ad-bc)s\bigr)=0`，显然 `c+d\ne s`，所以得到
\[(c-d)(2ab+ad+bc)+(ad-bc)s=0,\quad(*)\]
另一方面，由梅氏定理有
\begin{align*}
\frac ca\cdot\frac{s-a-c}{s-a-c+f}\cdot\frac e{s-b-d}&=1,\\
\frac db\cdot\frac{s-b-d}{s-b-d+e}\cdot\frac f{s-a-c}&=1,
\end{align*}
解得
\begin{align*}
e&=\frac{a(b+d)(s-b-d)}{cd-ab},\\
f&=\frac{b(a+c)(s-a-c)}{cd-ab},
\end{align*}
因此，要证 `a+e=b+f`，即证
\[a+\frac{a(b+d)(s-b-d)}{cd-ab}=b+\frac{b(a+c)(s-a-c)}{cd-ab},\]
去分母整理后，恰好就是式 (*)，因此得证。

你们也来玩玩

1+1=？

做$AB$的切线交于$D$点，由椭圆的光学性质可知，$AD$平分$∠PAF₂$；由熟知的椭圆等角定理可知，$DF₂$平分$∠AF₂B$，显然$D$是$△PAF₂$的内心，于是$PD$平分$∠APB$，于是在四边形$PAQB$中，$∠P，∠A，∠B$的平分线交于点$D$，则$∠Q$的角平分线也过点$D$，于是四边形$PAQB$有内切圆，圆心是内心$D$。
显然，由切线长相等，可知结论正确。

kuing

1+1=？ 发表于 2025-5-29 20:28
做$AB$的切线交于$D$点，由椭圆的光学性质可知，$AD$平分$∠PAF₂$；由熟知的椭圆等角定理可知，$DF₂$平分 ...

O(∩_∩)O谢谢，这才是我想要的漂亮证法😇，你可以发到知乎上去了

kuing

也就是说，如图，凸四边形 `ABCD` 中，`DA` 延长线与 `CB` 延长线交于 `E`，`DC` 延长线与 `AB` 延长线交于 `F`，则 `AE+AF=CE+CF` 的充要条件是四边形 `ABCD` 有内切圆。

hejoseph

四边形$ABCD$（凸或凹）有内切圆的充要条件是 $AB+CD=AD+BC$。


另外还有一个类似的，若四边形 $ABCD$（凸或凹都成立）有旁切圆使点 $A$ 和旁心在折线 $BCD$ 两侧的充要条件是 $AB-CD=AD-BC$。


还有这种边自交的四边形有旁切圆的充要条件是 $AB+AD=BC+CD$。

kuing

哦，那对应于 1# 的问题，也就有双曲线版本：

`A`, `B` 在以 `F_1`, `F_2` 为焦点的双曲线的两支上，然后连线如上图，则有 `PA-QB=PB-QA`。
（位置要求 `A`, `B` 在双曲线异支且 `PF_1`, `PF_2` 之间）

hejoseph

kuing 发表于 2025-5-30 15:52
哦，那对应于 1# 的问题，也就有双曲线版本：

`A`, `B` 在以 `F_1`, `F_2` 为焦点的双曲线的两支上，然后 ...

双曲线比较复杂，例如这种在同一支的情况就有 $PA-QB=QA-PB$。可以研究一下双曲线的情形了。

hejoseph

椭圆的有另一种情形，此时 $PA-QB=PB-QA$。

realnumber

1+1=？ 发表于 2025-5-29 20:28
做$AB$的切线交于$D$点，由椭圆的光学性质可知，$AD$平分$∠PAF₂$；由熟知的椭圆等角定理可知，$DF₂$平分 ...

2楼，椭圆等角定理可知，DF2平分∠AF2B这个有人能说说吗？百度了下椭圆等角定理，还是联系不起来.

色k

realnumber 发表于 2025-5-31 19:46
2楼，椭圆等角定理可知，DF2平分∠AF2B这个有人能说说吗？百度了下椭圆等角定理，还是联系不起来. ...

见 forum.php?mod=viewthread&tid=5228 的 4# 或 26#

hejoseph

其实不需要用 $AE+AF=CE+CF$ 的，因为 $\triangle CDE$ 的内心到 $CE$、$DE$ 距离是相等的，$\triangle AFD$ 的内心到 $AF$、$DF$ 距离是相等的，既然两个内心是重合的，那么它到 $CE$、$DE$、$AF$、$DF$ 距离是相等的，直接就得到四边形 $ABCD$ 有内切圆了，这样直接就得到#1所要证明的结论。

hejoseph

椭圆加上#8的情形才是完整的。具体是这样：
点 $A$、$B$ 在直线 $F_1F_2$ 同侧，点 $P$、$Q$ 在直线 $F_1F_2$ 同侧，则 $PA+QB=PB+QA$。
点 $A$、$B$ 在直线 $F_1F_2$ 同侧，点 $P$、$Q$ 在直线 $F_1F_2$ 两侧，则 $PA-QB=PB-QA$。
点 $A$、$B$ 在直线 $F_1F_2$ 两侧，点 $P$、$Q$ 在直线 $F_1F_2$ 两侧，则 $PA-QB=PB-QA$。
其余情况一般不存在上述最后表达式的等量关系。

双曲线估计是这样：

点 $A$、$B$ 在双曲线两支上，点 $P$、$Q$ 在直线 $F_1F_2$ 同侧且过点 $P$、$Q$ 都能作双曲线的切线，则 $PA-QB=PB-QA$。

点 $A$、$B$ 在双曲线两支上，点 $P$、$Q$ 在直线 $F_1F_2$ 两侧且过点 $P$、$Q$ 都能作双曲线的切线，则 $PA+QB=PB+QA$。


点 $A$、$B$ 在双曲线两支上，点 $P$、$Q$ 在直线 $F_1F_2$ 同侧且过点 $P$、$Q$ 之一或两个不能作双曲线的切线，则 $PA-QB=QA-PB$。

点 $A$、$B$ 在双曲线同一支上，点 $P$、$Q$ 在直线 $F_1F_2$ 两侧且过点 $P$、$Q$ 都不能作双曲线的切线，则 $PA-QB=PB-QA$。

点 $A$、$B$ 在双曲线同一支上，点 $P$、$Q$ 在直线 $F_1F_2$ 两侧且过点 $P$、$Q$ 都能作双曲线的切线，则 $PA-QB=QA-PB$。
其余情况一般不存在上述最后表达式的等量关系。

kuing

hejoseph 发表于 2025-6-3 08:55
其实不需要用 $AE+AF=CE+CF$ 的，因为 $\triangle CDE$ 的内心到 $CE$、$DE$ 距离是相等的，$\triangle AFD$ 的内心到 $AF$、$DF$ 距离是相等的，既然两个内心是重合的，那么它到 $CE$、$DE$、$AF$、$DF$ 距离是相等的，直接就得到四边形 $ABCD$ 有内切圆了，这样直接就得到#1所要证明的结论。

“既然两个内心是重合的” 为什么重合？