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对于第（2）问，我觉得研究它的逆命题更好，而纵观整个问题，很明显采用极坐标来玩会更好玩。
先给出如下引理：
在极坐标下，设圆锥曲线 $\Gamma$ 的方程为
\[\rho=\frac{ep}{1-e\cos\theta},\]
则其上的点 $P\bigl(\theta_0,\rho(\theta_0)\bigr)$ 处的切线方程为
\[\rho=\frac{ep}{\cos(\theta_0-\theta)-e\cos\theta}.\]
这个引理的严格证明我就不写了，因为其实很容易看出它是成立的，首先容易知道后者是一条直线，其次两者联立时显然只有 $\theta=\theta_0$ 这一解。
下面研究：如上所述的 $\Gamma$ 上有两个动点 $P_1\bigl(\theta_0,\rho(\theta_0)\bigr)$, $P_2\bigl(\theta_0+\alpha,\rho(\theta_0+\alpha)\bigr)$，其中 $\alpha$ 为 $(0,\pi)$ 内的定值，设 $P_1$, $P_2$ 两处的切线的交点为 $P$，求 $P$ 的轨迹方程。
根据引理，$P_1$, $P_2$ 两处的切线方程分别为
\begin{align*}
\rho&=\frac{ep}{\cos(\theta_0-\theta)-e\cos\theta},\\
\rho&=\frac{ep}{\cos(\theta_0+\alpha-\theta)-e\cos\theta},
\end{align*}
联立它们，得
\[\cos(\theta_0-\theta)=\cos(\theta_0+\alpha-\theta)
\iff\theta_0-\theta=-(\theta_0+\alpha-\theta)
\iff\theta=\theta_0+\frac\alpha2,\]
（这也相当于解决了第（1）问）代回去即得 $P$ 的轨迹方程为
\[\rho=\frac{ep}{\cos(\alpha/2)-e\cos\theta},\]
若记
\[e'=\frac e{\cos(\alpha/2)},\]
那么轨迹即为
\[\rho=\frac{e'p}{1-e'\cos\theta},\]
这说明 $P$ 的轨迹必然是与 $\Gamma$ 共焦点、共准线的圆锥曲线，而且离心率比 $\Gamma$ 的要大。
特别地，当 $\Gamma$ 为椭圆且定值 $\alpha$ 满足 $\cos(\alpha/2)=e$ 时，$P$ 的轨迹就是抛物线，因此，反过来，对于1楼的原题目，那个角自然就是定值，而且其值为 $2\arccos e$。 |
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isee
发表于 2018-3-6 20:57
kuing
发表于 2018-3-6 21:46
)
看得可清楚了，请问用什么作图软件？