一道类蝴蝶图形的三角形面积最小值

敬畏数学

$ y^2=4x  $的焦点为F，过F作两互相垂直的直线分别交抛物线于AB、ED，B、D两点在x轴上方，M、N分别为AB、DE的中点，AE与BD相交于G，求三角形GMN的面积最小值。

Aluminiumor

硬算试试：
设 $A(\frac{a^2}{4},a)$, 其中 $a<0$.
联立后可得
$$B\left(\frac{4}{a^2},-\frac{4}{a}\right),D\left(\frac{(a+2)^2}{(a-2)^2},\frac{2(2+a)}{2-a}\right),E\left(\frac{(a-2)^2}{(a+2)^2},\frac{2(a-2)}{a+2}\right)$$
$$M\left(\frac{a^4+16}{8a^2},\frac{a^2-4}{2a}\right),N\left(\frac{a^4+24a^2+16}{(a^2-4)^2},\frac{8a}{4-a^2}\right)$$
故
$$AE:y=\frac{4(a+2)}{a^2+4a-4}x+\frac{2a^2-4a}{a^2+4a-4}$$
$$BD:y=-\frac{2a(a-2)}{a^2+4a-4}x-\frac{4(a+2)}{a^2+4a-4}$$
$$\Longrightarrow G\left(-1,2\frac{a^2-4a-4}{a^2+4a-4}\right)$$
故 $\Delta GMN$ 的面积
$$S=\frac12|\overrightarrow{GM}\times \overrightarrow{GN}|=\frac18\left[\frac{(a^2+4)^2}{a(4-a^2)}\right]^2$$
易知当 $a=2-2\sqrt{2}$ 时, $S$ 取得最小值$8$.

kuing

G 在准线上，我以前也证明过 MN 与 x 轴的交点为定点，不过……好像没啥用……
难道只能硬算吗

isee

kuing 发表于 2024-1-21 22:09
G 在准线上，我以前也证明过 MN 与 x 轴的交点为定点，不过……好像没啥用……
难道只能硬算吗 ...

题主一向是半压轴题的难点直接提出来的，定是复杂的，有哪怕有妙解也得想一阵子吧

敬畏数学

由初中三角形中位线，取AD中点P,连接PG、PM、PN，三角形PGM面积=三角形DPM面积，三角形GPN面积=三角形APN面积， 所以三角形GMN面积=四边形ANMD，下面就焦点抛物线长度口算答案：8！确实非常简单！！！

kuing

话说其实用叉乘来看倒是非常自然：

\[\S{GMN}=\frac12\left|\vv{GM}\times\vv{GN}\right|=\frac12\left|\frac{\vv{GA}+\vv{GB}}2\times\frac{\vv{GD}+\vv{GE}}2\right|,\]
由于共线的向量叉乘为零向量，即有 `\vv{GA}\times\vv{GE}=\bm0`, `\vv{GB}\times\vv{GD}=\bm0`，所以上式化为
\[\S{GMN}=\frac18\left|\vv{GA}\times\vv{GD}+\vv{GB}\times\vv{GE}\right|,\]
又
\begin{align*}
\vv{GA}\times\vv{GD}&=2\S{GAD}\cdot\bm k,\\
\vv{GB}\times\vv{GE}&=2\S{GEB}\cdot(-\bm k),
\end{align*}
其中 `\bm k` 为垂直于 `xOy` 平面向外的单位向量，于是
\[\S{GMN}=\frac14\abs{\S{GEB}-\S{GAD}}=\frac14S_{\text{四边形}AEBD}=\frac18AB\cdot DE,\]
下略。

kuing

kuing 发表于 2024-3-1 22:55
话说其实用叉乘来看倒是非常自然：

\[\S{GMN}=\frac12\left|\vv{GM}\times\vv{GN}\right|=\frac12\left|\f ...

还是笨了一点点，由 `\vv{GA}\times\vv{GE}=\bm0`, `\vv{GB}\times\vv{GD}=\bm0` 其实可以得到
\[\bigl(\vv{GA}+\vv{GB}\bigr)\times\bigl(\vv{GD}+\vv{GE}\bigr)
=\bigl(\vv{GA}-\vv{GB}\bigr)\times\bigl(\vv{GD}-\vv{GE}\bigr),\]
从而楼上第一式就直接化为
\[\S{GMN}=\frac18\bigl|\vv{AB}\times\vv{DE}\bigr|=\frac14S_{\text{四边形}AEBD},\]
就不用扯到啥 `\bm k` 了……