八省联考第7题过抛物线上的定点向定圆作切线求直线

isee

7．已知抛物线$y^2=2px$上三点$A(2,2),\quad B,\quad C$，直线$AB,AC$是圆$(x-2)^2+y^2=1$的两条切线，则直线$BC$的方程为（     ）
     
     B．$3x+6y+4=0$

isee

此题在网络上解法各异，基本上都说计算量大，如果用抛物线的参数方程，将会容易计算些。

不过，哈哈哈哈哈



这里给一个比较不被认同的，很装的——（省略太多小过程）——小计算的解法——无需配图。

不防设点$B$的在点$C$的左边。

由图形位置关系知点$A$在$x$轴上的射影就是已知圆的圆心$(2,0)$。

从而直线$AB$，$AC$的斜率互为相反数，进一步知直线$BC$的斜率是确定的，且等于在点$(2,-2)$处切线的斜率。

容易求得（隐函数求导——或者找到极线$x=2$的极点$(-2,0)$)$$k_{AB}=-\frac 12.$$

另一方面，设$AB$交$x$轴于点$(x_0,0)$，由几何关系知$$x_0=2-\frac 2{\sqrt 3}.$$

从而由抛物线中的解析性质$$x_0^2=x_A\cdot x_B\Rightarrow x_B=\frac {\left(2-\frac 2{\sqrt 3}\right)^2}2=2\left(1-\frac 1{\sqrt 3}\right)^2=\frac 83-\frac 4{\sqrt 3},$$

代入抛物线$y^2=2x$中，$$y_B=\frac 2{\sqrt 3}-2({\color{red}<0}),$$

于是$BC$的直线方程$$y-\frac 2{\sqrt 3}+2=-\frac 12\left(x-\frac 83+\frac 4{\sqrt 3}\right),$$
化简即是$$3x+6y+4=0.$$

kuing

曲线系玩一玩：由 `A` 的坐标与圆的方程易知 `AB`, `AC` 的方程分别为
\[l_{AB},l_{AC}\colon y-2\pm\sqrt3(x-2)=0,\]易知 `A` 处的切线方程为
\[Q_A\colon2y-x-2=0,\]由于 `AB`, `AC` 斜率互反，故 `BC` 的斜率与 `Q_A` 的斜率也互反，故可设 `BC` 的方程为
\[l_{BC}\colon2y+x+b=0,\]再记抛物线为 `\Gamma\colon y^2-2x=0`，则存在实数 `\lambda`, `\mu` 使得 `\lambda l_{AB}l_{AC}+\mu Q_Al_{BC}=\Gamma`，即
\[\lambda\bigl((y-2)^2-3(x-2)^2\bigr)+\mu(2y-x-2)(2y+x+b)=y^2-2x,\] 比较两边的 `y^2`, `x^2` 系数及常数项，得方程组
\[\led
\lambda+4\mu&=1,\\
-3\lambda-\mu&=0,\\
-8\lambda-2\mu b&=0,
\endled\]解得 `b=4/3`，从而 `l_{BC}\colon6y+3x+4=0`。

咋样，是不是比你的还装

PS、`\lambda`, `\mu` 分别是 `-1/11`, `3/11`，你可以代进去验证下是不是确实有那等式成立。

isee

回复 3# kuing


其实想了曲线系的，但只是闪现了一下
这也表明入手宽，，

hejoseph

把 $y=k(x-2)+2$ 代入 $y^2=2x$ 展开（注意 $k(x-2)$ 这块不要展开）中就很容易得到 $(x-2)(k^2(x-2)+4k-2)=0$，由此可求得另一交点的 $x$ 坐标为
\[
x=2-\frac{4k-2}{k^2}
\]
根据勾股定理很容易求得两切线斜率为 $k=\pm \sqrt 3$，再将 $k=\pm \sqrt 3$ 代入上式子就很容易求得交点了。

isee

回复 5# hejoseph

难得何版有兴趣此题咯。

isee

照顾一下新手或学生吧，补完2#提的抛物线参数方程的解法（设普通）点亦可的）.

先看结论1（最后结果亦适用于斜率不存在的情形）

抛物线$y^2=2px$上任意两点$P_1(2pt_1^2,2pt_1)$，$P_2(2pt_2^2,2pt_2)$——其实早在论坛里写过，至少提过——立刻有过这这两点的直线方程为$$y-2pt_1=\frac{1}{t_1+t_2}(x-2pt_1^2)\Rightarrow x-(t_1+t_2)y+2pt_1t_2=0.$$

再看结论2

另一方面，设过这两点$P_1(x_1,y_1)$，$P_2(x_2,y_2)$的直线为$x=my+n$，与抛物线$y^2=2px$联立得
$$x^2-2(n+pm^2)x+n^2=0\Rightarrow n^2=x_1x_2.$$
即直线与$x$轴交点的横坐标是这两点横坐标的比例中项.


开始解主楼题，易知$p=1$即抛物线方程为$y^2=2x$.

设$B(2t_1^2,2t_1)$，$C(2t_2^2,2t_2)$，则直线$BC$的方程即为、\begin{align*}
x-(t_1+t_2)y+2t_1t_2=0.\tag{01}\label{eq01}
\end{align*}
同理，注意点$A$的参数为$1$，
直线$AB$的方程为$$x-(t_1+1)y+2t_1=0.$$
直线$AC$的方程为$$x-(t_2+1)y+2t_2=0.$$
而$$k_{AB}+k_{AC}=0,\therefore t_1+1=-t_2-1,\therefore t_1+t_2=-2$$

另一方面，由题中几何位置关系，易求出$AB$，$AC$交$x$轴点的横坐标为$n_1=2-2/{\sqrt 3}$，$n_2=2+2/{\sqrt 3}$二者各居一.

于是$$\left(4-\frac 43\right)^2=(n_1n_2)^2=(n_1)^2\cdot (n_2)^2=4t_1^2\cdot 4t_2^2\Rightarrow t_1t_2=\frac 23$$
将$t_1+t_2,t_1t_2$代入\eqref{eq01}整理即得选项$B$的结果.



事实上，结论2完全可以不需要，不出现，由直线AB，AC均是圆的切线亦能求出两和两积。



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接12#有改良

敬畏数学

常规套路，点斜式，圆的切线，点到直线距离的距离等于半径，斜率为+-根号3，联立韦达定理，求出B,C坐标，不难求出BC方程。有那么难吗？为何搞那么复杂。

isee

转自知乎 原作者 善术者

这可能是数字（是字没打错）计算最少的，最多思的

kuing

回复 9# isee

有点儿意思

isee

回复 10# kuing


像是从高次曲线退化到一个点，一条线感觉一样，过程畅快淋漓

isee

回复 7# isee


受9#要义，改良7#后半段（求积），去其几何味道——

接7#

直线$AB$的方程为$$x-(t_1+1)y+2t_1=0.$$

与圆相切，则由点到直线的距离公式$$\frac {\abs{2+2t_1}}{\sqrt{1+(t_1+1)^2}}=1\Rightarrow 3t_1^2+6t_1+2=0.$$

点$C$的坐标亦满足此式，两边同乘$$2p,$$注意$p=1$，化为普通方程即是$$3x+6y+4=0,$$即为$BC$的直线方程.

内核是 善术者 的，感谢（虽然，显然这位大虾看不到，还是要谢的）

isee

八省联考人多就是好，集众人之智，学习了

mowxqq

和2011年的联赛题思路是一样的，都是一个圆锥曲线和两条斜率相反的直线，用曲线系有一堆这样的结论。

其妙

这里有10种解法，仅供参考！《2021年八省联考数学题的多种方法集锦（不少题目用了4种到9种的方法，值得收藏、不容错过！）》
mp.weixin.qq.com/s?__biz=MzIxMDYxMDMxOQ==&mid=2247486915& ... 56&lang=zh_CN#rd

facebooker

高中老师教的就是俩直线乘一块 凑个二次退化  不知道这是啥原理啊

abababa

发maven的解答，果然与众不同：
你把图画得好一点，把$B,C$两个点范围里的都描好，方格纸上大约就是x=0->5,y=-3->2那些格，一象限还没什么东西用不着画方格，最后你量O到BC的距离，画出垂线来不用量就知道大约是1.5，四个选项里的距离分别是$\frac{3}{\sqrt{5}}=1.3,\frac{10}{3\sqrt{5}}=1.49,\frac{7}{2\sqrt{10}}=\frac{3.5}{1.41*2.24}=1.1,\frac{4}{\sqrt{10}}=\frac{4}{1.41*2.24}=1.26$，那就选第2个。

色k

回复 17# abababa

abababa

回复 17# abababa

要是考试的话，这应该是最简单的吧，不过那个除法我觉得他不是这么直接除的，应该是比较平方差最小就可以，这样的话用$1.5$去乘那些分母然后平方，看和哪个分子的平方作差最小，这样的话就是$(\frac{3}{2}\cdot\sqrt{5})^2-3^2=2.25,(\frac{3}{2}\cdot3\sqrt{5})^2-10^2=1.25,(\frac{3}{2}\cdot2\sqrt{10})^2-7^2=41,(\frac{3}{2}\cdot\sqrt{10})^2-4^2=6.5$，这样还是B选项误差最小。
题目里A,B两个选项的直线是平行的，C,D两个直线是平行的，要是能判断斜率和截距，也能判断出结果。不过他选择了直观的画图法。