抛物线中两垂直弦中点距离最小值

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源自知乎提问

题：过抛物线 $y^2=4x$ 的焦点 $F(1,0)$ 作两条互相垂直的直线分别交抛物线于 A, B；C, D四点(B，D 在 x 轴上方)，若弦 AB，CD 的中点分别为 M，N，则 $|MF|\cdot |NF|$ 的最小值为_____.

不妨设 AB，CD 直线的倾斜角分别为 $\alpha,\,\alpha+\pi/2$，则直线 AB 的参数方程为 \[\left\{\begin{aligned}x&=1+t\cos\alpha,\\
y&=t\sin\alpha\end{aligned}\right.\]其中 t 为参数.

与抛物线 $y^2=4x$ 联立整理得 \[\sin^2\alpha \cdot t^2-4\cos\alpha\cdot t-4=0,\] 设点 A，B 对应的参数分别为 $t_1,\,t_2$ ，则有 \[t_1+t_2=\frac{4\cos\alpha}{\sin^2\alpha},\] 于是弦 AB 的中点 M 对应的参数为 \[t_M=|FB|-|MB|=t_1-\frac{t_1-t_2}2=\frac{t_1+t_2}2.\] 从而 \[|MF|=|t_M|=\left|\frac{t_1+t_2}2\right|=\frac{2|\cos\alpha|}{\sin^2\alpha},\] 用 $a+\pi/2$ 替换上式中的 $\alpha$ 便得 \[|NF|=|t_M|=\frac{2|\cos(\alpha+\pi/2)|}{\sin^2(\alpha+\pi/2)}=\frac{2|\sin\alpha|}{\cos^2\alpha},\] 所以 \[|MF|\cdot |NF|=\frac{2|\cos\alpha|}{\sin^2\alpha}\cdot \frac{2|\sin\alpha|}{\cos^2\alpha}=\frac8{|\sin2\alpha|}\geqslant 8,\] 当且仅当 $\alpha=\pi/4 \,\lor\, 3\pi/4$ 时取得等号.

PS：由 $t_M$ 可知 $MF=|FB-FA|/2$ 与 平面几何中结论相同.

kuing

隐约记得 MN 过定点，不知能否利用上