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源自知乎提问 （以及其他优秀解法）
坛里子的弦长版：
来自人教论坛的圆内定点对弦张角垂直求弦长范围
kuing.cjhb.site/forum.php?mod=viewthread&tid=1583&fromuid=15
(出处: 悠闲数学娱乐论坛(第3版))
题：点 P(2,0)，圆 $x^2+y^2=36$ 上两动点 M，N 满足 $\angle MPN=90^\circ$ ，则 $\triangle MPN$ 的面积最大值为______.
图 1
由 $\angle MPN=90^\circ$ 知 $|PM|^2+|PN|^2=|MN|^2$ ，由均值不等式有 \[S_{\triangle MNP}=\frac12|PM|\cdot|PN|\leqslant \frac{|PM|^2+|PN|^2}4=\frac{|MN|^2}4.\] 另一方面如图 1，取 MN 的中点 Q，知 \[|OQ|=\sqrt{36-\frac14|MN|^2},\;|PQ|=\frac 12|MN|,\] 由 $|OP|+|OQ|\geqslant |PQ| $ 得 \[\sqrt{36-\frac14|MN|^2}+2\geqslant \frac 12|MN|\Rightarrow |MN|\leqslant 2+2\sqrt{17}.\] 当且仅当 Q，O，P 三点顺共线时取得等号时，此时亦有 PM=PN，(均值不等式成立的条件，)（如图 1 虚线如 PN 围成的图形).
从而 \[S_{\triangle MNP}\leqslant\frac{|MN|^2}4\leqslant 18+2\sqrt {17}.\]
PS：再由 OP+PQ>=OQ 得 MN 的下界，即 MN 的范围可求.
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